A equação geral da reta é uma maneira algébrica de se estudar o comportamento de uma reta no plano cartesiano. Na geometria analítica, estudamos a fundo objetos da geometria plana representados no plano cartesiano. Um desses objetos é a reta, que pode ter seu comportamento descrito pela equação ax + by + c = 0, os coeficientes a, b e c são todos números reais, em que a e b são diferentes de zero. Show
Para encontrar a equação geral da reta, é necessário conhecer pelo menos dois pontos pertencentes a essa reta. Conhecendo os dois pontos da reta, existem dois métodos distintos para se encontrar a equação geral da reta. Além da equação geral da reta, existem outras que podem descrever esse comportamento, sendo elas a equação reduzida da reta e a equação segmentária da reta. Leia também: O que é um par ordenado? Passo a passo para encontrar a equação geral da retaRepresentação da reta no plano cartesiano.Para encontrarmos a equação geral da reta, existem dois métodos, um deles utiliza a equação reduzida da reta para chegar-se à equação geral, já o outro é o cálculo do determinante de ordem 3, em ambos os métodos, é necessário conhecer, pelo menos, dois pontos da reta. Antes de compreender como encontrar a equação da reta geral, veja alguns exemplos. Exemplo de equação geral da reta: a) – 3x + 4y + 7 = 0 b) x + y – 3 = 0 c) 2x – 5y = 0 Então, para encontrar a equação geral de uma reta, é necessário conhecer dois pontos dessa reta. Seja A(xA, yA) e B(xB, yB) dois pontos pertencentes à reta cujos valores das coordenadas são conhecidos, para encontrar a equação geral da reta, podemos seguir alguns passos ao definirmos o método que será utilizado. Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;)
Para encontrar a equação geral da reta, utilizaremos duas fórmulas: Em que (xp, yp) é um dos pontos que conhecemos. Exemplo: A(2,1) e B(5,7) 1º passo: encontrar o coeficiente angular m. 2º passo: escolher um dos pontos e substituir os valores de m e desse ponto na equação, igualando-a a zero. y – yp = m (x – xp) Sabendo que m = 2, e escolhendo o ponto A(2,1), temos que: y – 1 = 2 (x – 2) y – 1 = 2x – 4 y – 2x – 1 + 4 = 0 – 2x + y + 3 = 0 → equação geral da reta r. Veja também: Como calcular a distância entre dois pontos no espaço?
Vamos construir a matriz com os dois pontos que conhecemos: os valores A(xA, yA), B(xB, yB) e um ponto arbitrário, e C (x,y). 1º passo: montar a matriz. 2º passo: resolver a equação det(M) = 0. Para que os pontos estejam alinhados, o valor do determinante da matriz tem que ser igual a zero, por isso, igualamos o determinante da matriz M a zero. Exemplo: Utilizando os pontos do exemplo anterior, encontraremos a equação geral da reta. A(2,1), B(5,7) e C(x,y) Primeiro vamos montar a matriz: Agora calcularemos o seu determinante: det(M) = 14 + x + 5y – 7x – 5 – 2y = 0 det(M) = 3y – 5x + 9 = 0 Note que essa é a equação de uma reta, sendo assim, a equação geral da reta que passa pelos pontos A, B e C é – 5x + 3y + 9 = 0. Equação reduzida da retaOutra forma de representar a equação da reta é a equação reduzida. A diferença da equação geral para a equação reduzida é que, na equação geral, o segundo membro é sempre igual a zero, agora, na equação reduzida, vamos sempre isolar o y no primeiro membro. A equação reduzida da reta é sempre descrita por y = mx + n, em que m e n são números reais, com m diferente de zero. Conhecendo a equação geral da reta, é possível encontrar a reduzida apenas isolando o y. Exemplo: – 5x + 3y + 9 = 0 Vamos isolar o y no primeiro membro: Toda reta pode ser representada por uma equação geral e por uma equação reduzida. Muitas vezes a equação reduzida é mais interessante. Já que o m é conhecido como coeficiente angular, com base nele é possível obter-se informações importantes da reta, pois seu valor traz informações sobre a inclinação dela. Já o n é o coeficiente linear, que é o ponto no plano cartesiano em que a reta corta o eixo y. Equação segmentária da retaAssim como a equação geral e a equação reduzida da reta, a equação segmentária é uma maneira de representar a equação da reta. A equação segmentária tem esse nome porque ela nos informa os pontos em que a reta intercepta os eixos x e y. A equação segmentária da reta é descrita por: Exemplo: Encontre a equação segmentária da reta -5x + 3y – 9 = 0. Vamos isolar o termo independente 9 no segundo membro: -5x + 3y = 9 Agora vamos dividir toda a equação por 9: Agora vamos reescrever cada um dos termos colocando c/a e c/b. Acesse também: Qual é a equação geral da circunferência? Exercícios resolvidosQuestão 1 – A representação da equação 4x – 2y – 6 = 0, em sua forma reduzida, é: A) y = 2x – 3 Resolução Alternativa A Primeiro vamos isolar o y: -2y = -4x + 6, como o coeficiente de y é negativo, multiplicaremos a equação por -1. 2y = 4x – 6, dividindo todos os termos por 2, encontraremos a equação reduzida. y = 2x – 3 Questão 2 – A equação geral da reta representada no plano cartesiano é: A) 2x + 2y – 6 = 0 Resolução Alternativa D Primeiro vamos identificar os dois pontos, são eles A(2,1) e B(3,3). Seja P(x,y) um ponto qualquer da reta, devemos calcular o determinante da matriz M e igualar a zero, colocando em cada linha o valor de x, y e 1. det(M) = 6 + x + 3y – 3x – 3 – 2y = 0 det(M) = -2x + y + 3 = 0 Qual é a equação da reta que passa pelo ponto a 2 4 é tem coeficiente angular 3?Resposta verificada por especialistas. A equação da reta é y = 3x - 2.
Como achar a equação da reta com o coeficiente angular?Veja o passo a passo para encontrar a equação da reta.. 1º passo: encontramos o valor do coeficiente angular m.. 2º passo: substituir na equação y = mx + n o valor encontrado para m e o valor de x e y pelo valor de um dos dois pontos.. 3º passo: resolver a equação para calcular o valor de n.. Como determinar o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos?Cálculo do Coeficiente Angular. O coeficiente angular, também chamado de declividade de uma reta, determina a inclinação de uma reta.. m = tg α. Para calcular o coeficiente angular de uma reta a partir de dois pontos devemos dividir a variação entre os eixos x e y:. Δy: representa a diferença entre as ordenadas de A e B.. |