Uma EDO linear de primeira ordem tem o seguinte formato:
$$y'+P(x)y=Q(x)$$
Chamaremos a forma acima de "forma padrão" da equação (o $$Q(x)$$ é uma expressão na qual o símbolo $$y$$ não aparece). Quando vamos resolver uma EDO desta natureza, devemos identificar quem é $$P(x)$$ (usando manipulações algébricas) em em seguida determinar o chamado "fator integrante" que indicaremos por $$I(x)$$ e é dado por
$$I(x)=e^{\int P(x)\;dx}$$
O resto do procedimento, fica ilustrado na solução abaixo.
Exercício: Resolva a seguinte equações linear de primeira ordem:
$$y'=x+5y$$
Solução: comece escrevendo a equação na forma padrão:
Identifique a função $$P$$:
Calcule a integral de $$P(x)$$:
$$\int P(x)\; dx=\int -5 \; dx = -5x$$
Determine o fator integrante:
$$I(x)=e^{\int P(x)\;dx}=e^{-5x}$$
Multiplique ambos os lados da equação (na forma padrão) pelo fator integrante e reescreva a igualdade:
$$(y'+(-5)y)e^{-5x}=xe^{-5x}$$
$$(y'-5y)e^{-5x}=xe^{-5x}$$
$$y'e^{-5x}-5ye^{-5x}=xe^{-5x}$$
$$y'\cdot e^{-5x}+y\cdot (-5e^{-5x})=xe^{-5x}$$
Use a regra do produto "de trás para frente" no lado esquerdo para obter:
$$\frac{d}{dx}[ye^{-5x}]=xe^{-5x}\;\;\;\;\;(*)$$
Observação:
a regra do produto diz que
$$\frac{d}{dx}[uv] = u'v + uv'$$
Quando estamos resolvendo EDO's lineares de primeira ordem, geralmente utilizamos esta igualdade lendo-a da direita para a esquerda, ou seja, usamos que
$$u'v + uv' = \frac{d}{dx}[uv]$$
No caso acima, $$u = y$$ e $$v = e^{-5x}$$.
Prosseguindo com a solução, integre ambos os lados da expressão $$(*)$$:
$$\int \frac{d}{dx}[ye^{-5x}]\;dx=\int xe^{-5x}$$
No primeiro membro sobrará apenas a função (isto é, o operador diferencial "desaparecerá") em virtude de que a integral e a derivada são operações inversas (no sentido do TFC). Logo, obtemos
$$ye^{-5x}=\int xe^{-5x}\;dx$$
Utilizando integração por partes no segundo membro obteremos
$$ye^{-5x}=-\frac{1}{5}xe^{-5x}-\frac{e^{-5x}}{25}+C$$
Simplifique o resultado (para tanto, "passe $$e^{-5x}$$ dividindo"):
$$y=-\frac{1}{5}x-\frac{1}{25}+Ce^{5x}$$
Referência: primeiro volume do livro
de cálculo de James Stewart.
Erros podem ser relatados aqui.
— 1. Exercícios Resolvidos de Equações Diferenciais —
Abordamos alguns conceitos básicos sobre equações diferencias, agora vamos resolver alguns exercícios relacionados ao assunto.
Exercício 1.Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial.
-
Solução:Da função obtemos:Substituindo as derivadas na equação teremos:
-
Solução:Da função obtemos:Substituindo a derivada de segunda ordem na ED teremos:
Exercício 2.Comprove que a expressão indicada é uma solução implícita da equação diferencial dada
Encontre pelo menos uma solução explicita
Solução:escrevendo e derivando, teremos:
Para acharmos a solução explicita temos que isolar x na solução implícita fazendo:
A solução explicita será:
Exercício 3.Verifique se a família de funções dada é uma solução da equação diferencial.
-
Solução:Derivando a função obtemos: substituindo a derivada na equação diferencial teremos: -
Solução:Derivando a função teremos:substituindo as derivadas na equação diferencial teremos:
Exercício 4:A função é uma família de soluções da ED de primeira ordem Determine uma solução para o problema de valor inicial que consiste nesta ED e na condição inicial
Solução:substituindo as condições iniciais na função, teremos:
Determinando valor de teremos:
Substituindo o valor de na função teremos:
Exercício 5:A função é uma família de soluções da ED de segunda ordem Determine uma solução para o problema de valor inicial que consiste nesta ED e nas seguintes condições iniciais:
Solução:determinando a primeira derivada da função temos:
substituindo as condições iniciais na função e na primeira derivada temos:
Determinando valor de e teremos: e
Substituindo o valor de e na função teremos:
Exercício 6.Determine uma região do plano xy para a qual a equação diferencial teria uma única solução passando por um ponto na região.
Solução:Pelo Teorema de Picard temos:
Derivando a função temos: assim, a equação diferencial terá uma única solução, em qualquer região, onde
Exercício 7.Verifique se o Teorema de Picard garante unicidade de solução para a equação diferencial passando pelo ponto dado:
- (1,4)
- (5,3)
Solução:Pelo Teorema de Picard temos que:
Derivando a função temos: assim, a equação diferencial terá uma única solução, em qualquer região, onde então:
- a equação diferencial tem uma única solução no ponto (1,4).
- a equação diferencial não garante uma única solução no ponto (5,3).