O conjunto dos números naturais é formado por todos os números inteiros não negativos. Em outras palavras, todo número que é inteiro e positivo é natural, além disso, como o zero é inteiro, mas não é negativo, ele também é um número natural.
Assim, a lista dos números naturais é a seguinte:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …
E assim por diante, seguindo esse mesmo padrão de formação.
Note que essa sequência numérica é a que usamos para contar. Cada um desses símbolos representa uma quantidade, portanto, partindo do nada, uma unidade, duas unidades etc. Uma outra maneira de representar esse conjunto é usando a notação específica para conjuntos, na qual as reticências significam que a sequência continua nessa mesma ordem e padrão de formação:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …}
Nessa notação, N é o símbolo que representa o conjunto dos números naturais.
A ideia de sucessor
O conjunto dos números naturais é formado apenas por números inteiros e não contém números repetidos, por isso, é possível escolher, entre dois números naturais distintos, aquele que é maior e aquele que é menor. Quando um número natural x é maior do que um número natural y em uma unidade, dizemos que x é sucessor de y. Assim:
x é sucessor de y se x + 1 = y
Se olharmos na lista dos números naturais, colocada em ordem crescente, o sucessor de um número natural n é sempre o próximo número à sua direita. Logo:
O sucessor de 7 = 8
O sucessor de 20 = 21
etc.
Perceba também que todo número natural possui sucessor, assim, o sucessor do zero é 1, o sucessor de 1 é 2 …
Essa característica garante que, independentemente do número natural escolhido, e por maior que ele seja, sempre existirá um número natural uma unidade maior que ele. Portanto, o conjunto dos números naturais é infinito.
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A ideia de antecessor
Quando um número natural x é menor que um número natural y em uma unidade, dizemos que x é o antecessor de y. Assim:
x é antecessor de y se x – 1 = y
Olhando a lista de números naturais em ordem crescente, verificamos que o antecessor de um número natural n é o número à sua esquerda. Logo:
O antecessor de 7 = 6
O antecessor de 20 = 19
etc.
Nem todo número natural possui antecessor. Na realidade, apenas o zero não possui, pois ele é o primeiro número natural e também porque 0 – 1 = – 1, que não é um número natural. Assim sendo, concluímos que o conjunto dos números naturais é limitado.
Sim, é possível que um conjunto seja limitado e infinito ao mesmo tempo. O conjunto dos números naturais é limitado inferiormente pelo zero, mas ilimitado superiormente e, por isso, é infinito.
Subconjuntos dos números naturais
O conjunto dos números naturais possui alguns subconjuntos muito conhecidos:
1 – Conjunto dos números primos (P): é formado por todos os números que são divisíveis apenas por 1 e por si mesmo.
P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, …}
2 – Conjunto dos números compostos (C): é formado por todos os números que não são primos.
C = {4, 6, 8, 10, 12, 14, 15, 16, …}
3 – Conjunto dos quadradosperfeitos (Q): é formado por todos os números que são resultados de uma potência em que o expoente é 2.
Q = (1, 4, 9, 16, 25, 36, …)
A adição é uma entre as quatro operações básicas da matemática, sendo a primeira operação a ser estudada. O resultado de uma adição entre dois ou mais números é conhecido como soma, e os números a serem somados são conhecidos como parcelas.
Utilizamos a adição em várias situações que envolvem números em nosso cotidiano, por exemplo, para contar objetivos ou, durante as compras, para saber o valor da conta, entre outras. Existem propriedades importantes na adição, além da existência de um elemento neutro.
Leia também: 5 curiosidades sobre os números
O que é a adição?
A adição é uma operação matemática considerada básica, assim como a subtração, a multiplicação e a divisão. Essa operação é essencial para o nosso cotidiano e está ligada a acrescentar, juntar quantidades. Calcular a adição entre dois números é acrescentar uma certa quantia a outra já existente.
Por exemplo, se tenho 8 bananas e compro mais 5 bananas, a adição é a operação que vai calcular a quantidade total de bananas, acrescentando 5 bananas às 8 que já tenho. Utilizamos o símbolo + (mais) entre os números para representar a adição, por exemplo, 5 + 8 (lê-se: cinco mais oito).
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Elementos da adição
Os termos da adição recebem nomes especiais, o resultado da adição é conhecido sempre como soma, e os números que estamos somando são conhecidos como parcelas.
Exemplo:
5 + 3 = 8
5 e 3 são as parcelas.
8 é a soma.
Cálculo da adição
Para encontrar a soma entre dois ou mais números, recorremos ao seu valor posicional, ou seja, juntamos unidade com unidade, dezena com dezena, centena com centena, e assim sucessivamente.
Um exemplo de adição com números que têm só unidades é entre 5 e 8. Seu resultado contém 1 dezena e 3 unidades, ou seja, é igual a 13, ou seja, 5 + 8 = 13. Adições simples como a que foi feita podem ser calculadas mentalmente, porém quando os números que vamos adicionar são maiores, é bastante comum a utilização do algoritmo de adição.
Para aprender a utilizar a algoritmo de adição, vamos calcular o resultado de 325 + 271.
Colocamos unidade em baixo de unidade, dezena em baixo de dezena, e centena em baixo de centena. Agora realizaremos as somas.
Unidades: 5 + 1 = 6
Dezenas: 2 + 7 = 9
Centenas: 2 + 3 = 5
Então, o resultado da soma será:
325 + 271 = 596
Acontece que, em alguns casos, o resultado da soma das unidades forma uma dezena, como no exemplo a seguir.
Exemplo 2:
Vamos somar 384 + 59.
Primeiro montaremos o algoritmo.
Agora somaremos as unidades, mas note que 4 + 9 = 13, logo, há 1 dezena e 3 unidades. Vamos escrever a unidade abaixo do 9, e, como temos também uma dezena, escreveremos 1 acima do 8, conforme a imagem a seguir:
Agora realizamos a soma das dezenas. A dezena que encontramos na soma das unidades também fará parte da adição, logo, calcularemos 1 + 8 + 5 = 14. Como o resultado da soma das dezenas foi igual a 14, isso significa que temos 4 dezenas e 1 centena, então, repetiremos o processo anterior:
Por fim, somaremos as centenas 1 + 3 = 4.
Então, 384 + 59 = 443.
Veja também: Como identificar se um número é par ou ímpar?
Propriedades da adição
Existem algumas propriedades na adição, são elas: comutativa, associativa, existência de um elemento neutro, e existência de um elemento oposto.
Propriedade comutativa
Na adição de dois números, a ordem da parcela não altera a soma.
Exemplo:
5 + 8 = 8 + 5
5 + 8 = 13
8 + 5 = 13
Propriedade associativa
Em uma adição com três ou mais parcelas, independentemente da ordem em que realizamos as somas, o resultado é o mesmo.
Exemplo:
4 + (2 + 1) = (4 + 2) + 1
4 + (2 + 1) = 4 + 3 = 7
(4 + 2) + 1 = 6 + 1 = 7
Existência de um elemento neutro
O elemento neutro da adição é o 0. Ao realizar a soma de um número com 0, o resultado é sempre o próprio número.
Exemplo:
8 + 0 = 8
Existência de um oposto
Para todo número diferente de zero, existe um número que é o seu oposto, e soma desse número com o seu oposto é igual a zero.
Exemplo:
5 + (-5) = 0
– 3 + 3 = 0
Veja também: Propriedades dos números pares e ímpares
Exercícios resolvidos
Questão 1 - Matheus foi à cantina da escola e comprou dois salgados a R$ 4 cada, um refrigerante por R$ 3, e três brigadeiros por R$ 1 cada. O valor gasto por Matheus foi:
A) R$ 14
B) R$ 15
C) R$ 13
D) R$ 12
E) R$ 17
Resolução
Alternativa A. Vamos somar o valor de cada um dos produtos comprados de acordo com as quantidades:
4 + 4 + 3 + 1 + 1 + 1
8 + 3 + 1 + 1 + 1
11 + 1 + 1 + 1
12 + 1 + 1
13 + 1
14
Questão 2 - Para manter a forma, Júlia acorda cedinho e vai até a academia todos os dias. O primeiro equipamento que ela usa é a esteira. Como controle da dieta, ela anota o número de calorias gastas marcado na esteira.
Nesta semana em específico, na segunda-feira, ela gastou 270 calorias; na terça-feira, 210 calorias; na quarta-feira, 304 calorias; e na quinta-feira, 155 calorias. Na sexta feira, no sábado e no domingo, ela não frequentou a academia. O valor total das calorias gastas na esteira foi:
A) 1230 calorias
B) 939 calorias
C) 799 calorias
D) 838 calorias
E) 790 caloria
Resolução
Alternativa B
Calcularemos a soma 270 + 210 + 304 + 155.