Prof. Me. Giancarlo SecciData da publicação: 23.mar.2020.
Permutar é sinônimo de trocar, embaralhar, mudar de lugar. Intuitivamente, nos problemas de contagem, devemos associar a permutação à noção de embaralhar, isto é, trocar objetos de posição.
Em notação, tem-se:
Utilizamos a permutação quando o número de lugares é igual ao número de objetos (sendo esses objetos distintos).
De quantas maneiras 3 pessoas podem ser organizadas em um banco com três lugares?
Resolução:
Imagine três lugares vazios como os três espaços a seguir:
______ ______ ______
Sendo A, B e C três pessoas, temos:
- No primeiro lugar, podemos colocar qualquer uma das três pessoas (A, B ou C), ou seja, 3 possibilidades;
- No segundo espaço (lugar) podemos colocar qualquer uma das duas pessoas restantes (lembre-se que já colocamos uma pessoa no primeiro lugar, logo não podemos utilizá-la novamente). Assim, temos 2 possibilidades;
- Como já utilizamos 1 pessoa para o primeiro lugar e 1 pessoa para o segundo lugar, restou-nos apenas 1 possibilidade para o último lugar.
Então, teremos
Portanto, podemos organizar 3 pessoas em três lugares de 6 maneiras distintas.
Todo problema de permutação simples pode ser resolvido utilizando o princípio fundamental da contagem.
Sendo n um número natural, tem-se:
Observe o calculo dos fatoriais a seguir.
0! = 1 (por definição)
1! = 1
2! = 2.1 = 2
3! = 3.2.1 = 6
5! = 5.4.3.2.1 = 120
10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 = 3 628 800
Se você ainda tem dúvidas, então assista o vídeo abaixo. Nesse vídeo damos a ideia inicial de fatorial e como calculá-lo.
O que são anagramas?
Anagramas são palavras ou expressões que podem ou não ter sentido ou significado e são obtidos quando mudamos a ordem das letras de determinada palavra ou expressão.
Por exemplo, da palavra AMOR podemos formar a palavra AMRO, que não tem significado. Mas podemos formar também a palavra ROMA, que tem significado. Assim, todas as palavras ou expressões que podem ser obtidas a partir dessa ideia são chamadas de anagramas.
Quantos são os anagramas da palavra AMOR?
Resolução:
Na resolução de problemas que envolvem anagramas teremos sempre duas situações:
- A palavra não tem letras repetidas: permutação simples;
- A palavra tem letras repetidas: permutação com repetição.
Note que, a palavra AMOR não possui letras repetidas, então basta calcularmos o número de permutações simples. Como a palavra AMOR possui 4 letras (sem nenhuma repetida), temos:
Portanto, a partir da palavra AMOR, pode-se formar 24 anagramas.
No site //www.palavras.net/anagramas.php você pode calcular o número de anagramas de uma palavra com até 9 letras. Fique a vontade para testar e visualizar os anagramas da palavra AMOR e outros.
Se você ainda tem dúvidas, então assista o vídeo abaixo. Nesse vídeo damos a ideia inicial de permutação e apresentamos o cálculo de anagramas.
Quando calculamos permutações que apresentam repetição (situação 2) é necessário retirarmos a dupla contagem. Para isso, utilizamos a seguinte relação:
Quantos são os anagramas da palavra BOLO?
Resolução:
Primeiro listamos as letras distintas da pala:
- B - 1
- O - 2
- L - 1
No total, temos 4 letras, sendo que a letra O aparece 2 vezes, ou seja, é uma repetição, logo:
Portanto, pode-se formar 12 anagramas com a palavra BOLO.
Quantos são os anagramas da palavra ABOBORA?
Resolução:
Primeiro listamos as letras distintas da pala:
- A - 2
- B - 2
- O - 2
- R - 1
No total, temos 7 letras, sendo que as letras A, B e O aparecem 2 vezes cada, ou seja, é uma repetição, logo:
Portanto, podemos formar 630 anagramas com a palavra ABOBORA.
Se você ainda tem dúvidas, então assista o vídeo abaixo. Nesse vídeo damos a ideia inicial de permutação com repetição e utilizamos esse conceito em uma aplicação cotidiana.
Quando agrupamos elementos ao redor de um círculo, a cada disposição possível damos o nome de permutação circular.
Para calcularmos o número de permutações circulares de um conjunto de n elementos, usamos a seguinte relação:
De quantas formas 4 pessoas podem se sentar ao redor de uma mesa circular?
Resolução:
Esse problema consiste em determinar o número de permutações circulares de um conjunto de 4 pessoas, ou seja, n = 4, logo:
Portanto, 4 pessoas podem se sentar ao redor de uma mesa circular de 6 formas diferentes.
Se você ainda tem dúvidas, então assista o vídeo abaixo. Nesse vídeo damos a ideia inicial de permutação circular a partir da resolução de dois problemas.