Prof. Me. Giancarlo SecciData da publicação: 23.mar.2020. Show Permutar é sinônimo de trocar, embaralhar, mudar de lugar. Intuitivamente, nos problemas de contagem, devemos associar a permutação à noção de embaralhar, isto é, trocar objetos de posição. Em notação, tem-se: Utilizamos a permutação quando o número de lugares é igual ao número de objetos (sendo esses objetos distintos). De quantas maneiras 3 pessoas podem ser organizadas em um banco com três lugares? Resolução: Imagine três lugares vazios como os três espaços a seguir: ______ ______ ______ Sendo A, B e C três pessoas, temos:
Então, teremos Portanto, podemos organizar 3 pessoas em três lugares de 6 maneiras distintas. Todo problema de permutação simples pode ser resolvido utilizando o princípio fundamental da contagem. Sendo n um número natural, tem-se: Observe o calculo dos fatoriais a seguir. 0! = 1 (por definição) 1! = 1 2! = 2.1 = 2 3! = 3.2.1 = 6 5! = 5.4.3.2.1 = 120 10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 = 3 628 800 Se você ainda tem dúvidas, então assista o vídeo abaixo. Nesse vídeo damos a ideia inicial de fatorial e como calculá-lo. O que são anagramas? Anagramas são palavras ou expressões que podem ou não ter sentido ou significado e são obtidos quando mudamos a ordem das letras de determinada palavra ou expressão. Por exemplo, da palavra AMOR podemos formar a palavra AMRO, que não tem significado. Mas podemos formar também a palavra ROMA, que tem significado. Assim, todas as palavras ou expressões que podem ser obtidas a partir dessa ideia são chamadas de anagramas. Quantos são os anagramas da palavra AMOR? Resolução: Na resolução de problemas que envolvem anagramas teremos sempre duas situações:
Note que, a palavra AMOR não possui letras repetidas, então basta calcularmos o número de permutações simples. Como a palavra AMOR possui 4 letras (sem nenhuma repetida), temos: Portanto, a partir da palavra AMOR, pode-se formar 24 anagramas. No site https://www.palavras.net/anagramas.php você pode calcular o número de anagramas de uma palavra com até 9 letras. Fique a vontade para testar e visualizar os anagramas da palavra AMOR e outros. Se você ainda tem dúvidas, então assista o vídeo abaixo. Nesse vídeo damos a ideia inicial de permutação e apresentamos o cálculo de anagramas. Quando calculamos permutações que apresentam repetição (situação 2) é necessário retirarmos a dupla contagem. Para isso, utilizamos a seguinte relação: Quantos são os anagramas da palavra BOLO? Resolução: Primeiro listamos as letras distintas da pala:
No total, temos 4 letras, sendo que a letra O aparece 2 vezes, ou seja, é uma repetição, logo: Portanto, pode-se formar 12 anagramas com a palavra BOLO. Quantos são os anagramas da palavra ABOBORA? Resolução: Primeiro listamos as letras distintas da pala:
No total, temos 7 letras, sendo que as letras A, B e O aparecem 2 vezes cada, ou seja, é uma repetição, logo: Portanto, podemos formar 630 anagramas com a palavra ABOBORA. Se você ainda tem dúvidas, então assista o vídeo abaixo. Nesse vídeo damos a ideia inicial de permutação com repetição e utilizamos esse conceito em uma aplicação cotidiana. Quando agrupamos elementos ao redor de um círculo, a cada disposição possível damos o nome de permutação circular. Para calcularmos o número de permutações circulares de um conjunto de n elementos, usamos a seguinte relação: De quantas formas 4 pessoas podem se sentar ao redor de uma mesa circular? Resolução: Esse problema consiste em determinar o número de permutações circulares de um conjunto de 4 pessoas, ou seja, n = 4, logo: Portanto, 4 pessoas podem se sentar ao redor de uma mesa circular de 6 formas diferentes. Se você ainda tem dúvidas, então assista o vídeo abaixo. Nesse vídeo damos a ideia inicial de permutação circular a partir da resolução de dois problemas. Quantas maneiras 6 pessoas podem SentarPortanto as 6 pessoas podem ocupar o banco de 6 lugares, em que 2 fiquem sempre juntas, de 240 maneiras.
Quantos modos distintos 5 pessoas podem Sentar1 - De quantas formas 5 pessoas podem sentar-se ao redor de uma mesa circular, considerando-se a ordem de posicionamento? Resposta: 24 maneiras distintas. Observe que se as 5 pessoas tivessem que sentar-se num banco de 5 lugares, teríamos 5! = 5.4.3.2.1 = 120 possibilidades.
Quantas formas diferentes uma família de 5 pessoas podem se sentar em uma mesa de 8 lugares?Portanto são 48 maneiras.
Quantas maneiras podemos formar uma roda com 8 crianças?Entre as oito crianças dispostas na roda, há oito lugares que poder˜ao ser escolhidos pela primeira criança. Para colocar a segunda criança, de modo que fique separada da primeira, restam 7 lugares que poder˜ao ser escolhidos. Logo, podemos formar 7!. 8.7 = 282.240 rodas diferentes.
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