Como calcular o termo geral de uma sucessão

Podemos definir progressão geométrica, ou simplesmente P.G., como uma sucessão de números reais obtida, com exceção do primeiro, multiplicando o número anterior por uma quantidade fixa q, chamada razão.

Podemos calcular a razão da progressão, caso ela não esteja suficientemente evidente, dividindo entre si dois termos consecutivos.

Por exemplo, na sucessão (1, 2, 4, 8,...), temos q = 2.

Cálculo do termo geral

Numa progressão geométrica de razão q, os termos são obtidos, por definição, a partir do primeiro, da seguinte maneira:   

a1   a2 a3 ... a20 ... an ...
a1 a1xq a1xq2 ...   a1xq19   a1xqn-1   ...

Assim, podemos deduzir a seguinte expressão do termo geral, também chamado enésimo termo, para qualquer progressão geométrica.

  Portanto, se por exemplo, a1 = 2 e q = 1/2, então:

  Se quisermos calcular o valor do termo para n = 5, substituindo-o na fórmula, obtemos:

a5 = 2 . (1/2)5-1 = 2 . (1/2)4 = 1/8

A semelhança entre as progressões aritméticas e as geométricas é aparentemente grande. Porém, encontramos a primeira diferença substancial no momento de sua definição. Enquanto as progressões aritméticas formam-se somando-se uma mesma quantidade de forma repetida, nas progressões geométricas os termos são gerados pela multiplicação, também repetida, por um mesmo número. As diferenças não param aí.

Observe que, quando uma progressão aritmética tem a razão positiva, isto é, r > 0, cada termo seu é maior que o anterior. Portanto, trata-se de uma progressão crescente. Ao contrário, se tivermos uma progressão aritmética com razão negativa, r < 0, seu comportamento será decrescente. Observe, também, a rapidez com que a progressão cresce ou diminui. Isto é consequência direta do valor absoluto da razão, |r|. Assim, quanto maior for r, em valor absoluto, maior será a velocidade de crescimento e vice-versa.

Como calcular o termo geral de uma sucessão

Como calcular o termo geral de uma sucessão

Como referenciar: "Progressões Geométricas" em Só Matemática. Virtuous Tecnologia da Informação, 1998-2022. Consultado em 22/11/2022 às 09:56. Disponível na Internet em https://www.somatematica.com.br/emedio/pg.php

Como descobrir o termo geral de uma sucessao?

Sabendo que an representa um termo qualquer de uma PA, podemos tentar encontrar o termo geral de uma progressão aritmética cujos termos são desconhecidos. Para isso, considere uma PA que possui n termos. Saiba que a1 é o primeiro, an é o último e a razão é r. Essa é a fórmula do termo geral da progressão aritmética.

Como encontrar a fórmula do termo geral de uma sequência?

Para encontrar a fórmula do termo geral da progressão aritmética, daremos um exemplo, usando uma PA, de como os termos dessa sequência podem ser escritos em função do primeiro termo e de sua razão para depois fazer o mesmo com uma PA qualquer.

O que é o termo geral de uma sequência?

Para determinarmos uma sequência numérica precisamos de uma lei de formação. Exemplo: A sequência definida pela lei de formação an = 2n² - 1, n N*, onde n = 1, 2, 3, 4, 5, ... e an é o termo que ocupa a n-ésima posição na sequência. Por esse motivo, an é chamado de termo geral da sequência.

Como calcular o termo geral de uma série?

onde cada número representa o dobro de sua posição. O número 2 está na posição 1, portanto vale 2x1=2, o número 4 está na posição 2 e vale 2x2=4, e assim por diante. O termo geral portanto é 2n.

Como calcular a soma de uma série?

O número S é chamado soma da série. Por exemplo, vimos anteriormente que é possível somar todos os termos de uma Progressão Geométrica infinita com razão r que satisfaz −1

Conta-se que o matemático alemão Carl Friedrich Gauss, ainda muito jovem, como aluno do ensino básico, surpreendeu o seu professor quando este propôs aos seus alunos que calculassem o valor da soma dos números inteiros de 1 a 100. Gauss terá respondido passado pouco tempo, tendo utilizado a estratégia de somar, 100 + 1, 99 + 2, 98 + 3, 97 + 4 e por aí fora. Com este processo obteve 100 vezes a parcela 101. Isto significa que adicionando duas vezes os números de 1 a 100, se obtém como resultado 10100. Desta forma a resposta à questão proposta pelo professor é 5050 (metade de 10100).

Como calcular o termo geral de uma sucessão

Não existe uma fórmula para isso?

Claro, e é aí que eu quero chegar com a história sobre Gauss. A estratégia por ele utilizada, evidencia que numa progressão aritmética, a soma dos termos equidistantes é sempre a mesma. Assim sendo, para obter a soma de todos os termos, basta somar o primeiro termo com o último, multiplicar esse valor pelo número de termos que queremos somar e por fim dividir por 2. Aqui fica a fórmula, em que `n` representa o número de termos da progressão aritmética que pretendemos somar: `S_n = (U_1 + U_n)/2 xx n`.

E quanto à soma dos termos de uma progressão geométrica?

Desta vez, não me vou alongar com nenhuma história (que ninguém sabe se é verdade ou não). Limito-me a deixar aqui a fórmula, sendo que `r` representa a razão e a variável `n` é o número de termos da progressão geométrica que pretendemos somar: `S_n = U_1 xx (1-r^n)/(1-r)`.

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NUNES, Vitor F. R. "Como calcular a soma de todos os termos de uma sucessão?", matematica.pt. Disponível em: https://www.matematica.pt/faq/soma-termos-sucessao.php, acedido em 22 de Novembro de 2022.

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Foram feitos 2 comentários/dúvidas.

23 de Junho de 2019, 00h23

Mensagem de José Quintas Cassinda

Cordiais saudações! Minha dúvida consiste em achar o termo geral de uma sucessão que não é PA e nem PG, ex : 0; 1/2; 2/3; 3 /4. Por favor conto com vossa benevolência.

23 de Junho de 2019, 08h05

Mensagem de Vitor Nunes

Olá José,
Não tenho por hábito responder a dúvidas relacionadas com exercícios colocados pelos alunos. Mas tendo em conta a simpatia com que faz o pedido, não me atrevo a recusar. Repare que o primeiro termo pode ser interpretado como `0//1` e assim sendo, temos uma sucessão em que o numerador começa no zero e a cada termo da sucessão é adicionado um. O denominador possui a mesma sequência mas começa no número um. Tendo isto em conta, o termo geral desta sucessão poderá ser o seguinte: `U_n=(n-1)/n`

Como calcular o termo geral de uma sucessão

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Como calcular os termos de uma sucessão?

Assim sendo, para obter a soma de todos os termos, basta somar o primeiro termo com o último, multiplicar esse valor pelo número de termos que queremos somar e por fim dividir por 2.

Como encontrar o termo geral de uma série?

onde cada número representa o dobro de sua posição. O número 2 está na posição 1, portanto vale 2x1=2, o número 4 está na posição 2 e vale 2x2=4, e assim por diante. O termo geral portanto é 2n.

Como calcular o termo geral de uma PA?

Para obter a fórmula do termo geral da PA, basta fazer o mesmo que foi feito no exemplo anterior e tentar descobrir o termo an. Portanto, dada a PA (a1, a2, a3, a4, a5, …) Encontre o centésimo termo de uma PA cujo primeiro termo é 11 e a razão é 3.