A partir de um ponto observa-se o topo de um prédio sob um ângulo de 30°

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A partir de um ponto observa-se o topo de um prédio sob um ângulo de 30°

Escola Professor Mario Sette

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há duas possibilidades 
para traçarmos arcos ligando estes dois pontos. 
O Radiano 
O radiano (símbolo rad) é um arco unitário cujo comprimento é igual ao raio da 
circunferência que contém o arco a ser medido. Abaixo exemplificamos um 
arco de medida igual a 1 radiano. 
 
Sabemos que a razão entre o diâmetro de uma circunferência e seu perímetro 
é sempre igual a 3,1415927..., que é um número irracional que chamamos de 
 . Ou seja, se chamado de C o comprimento da circunferência, temos 
 
 
 
 
Então, pela forma como definimos radianos, dizemos que um arco de 
circunferência completo (ou simplemente uma circunferência) terá sempre o 
comprimento de rad. 
A correspondência entre radianos e graus 
Estabelecemos a seguinte correspondência para a conversão de unidades de 
medida de arco de circunferência: 
 
 
Medidas de arcos e ângulos 
 
 
Trigonometria no Triângulo Retângulo e 
Medidas de arcos e ângulos na circunferência 
Notas de Aula 02 – 
Semestre 2 - 2010 
Tópicos Fundamentais de Matemática - Licenciatura em Matemática – 
Osasco -2010 
 
 
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Dado um ângulo , consideremos uma circunferência de centro e raio . 
Sejam e os pontos onde os lados do ângulo intercepta a 
circunferência traçada. 
 
Fazendo construções desta forma, a cada arco corresponderá um único 
ângulo . Convencionando que a um arco unitário corresponde um ângulo 
central unitário, decorre que o arco e o ângulo central correspondente 
passam a ter a mesma medida. 
 
Comprimento de arcos de circunferência 
Da forma como definimos, dado um arco de circunferência medido em 
radianos, sabemos que cada radiano corresponde a um carco cujo 
comprimento é ( o raio da circunferência). Então, dado o raio da 
circunferência e a medida do arco dada em radianos, o comprimento do arco 
da circunferência ( ) será dado por: . 
 
 
 
 
Trigonometria no Triângulo Retângulo e 
Medidas de arcos e ângulos na circunferência 
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Exercícios 
1)Calcular o valor da hipotenusa e da altura em relação à hipotenusa num 
triângulo retângulo cujos catetos medem 3 e 4. 
Resposta: medida da hipotenusa . 
Altura em relação à hipotenusa 
 
 
. 
 
2)Calcule as medidas x,y,z e t, no triângulo abaixo: 
 
Resposta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 . 
 
 
3)Calcular a área de um triângulo retângulo em que as projeções dos 
catetos sobre a hipotenusa medem, respectivamente, e . 
Resposta: . 
 
4)Qual é a hipotenusa de um triângulo retângulo de perímetro 56 e altura 
igual a 
 
 
. 
Resposta: 25 
 
5)A figura mostra um edifício que tem 15 m de altura, com uma escada 
colocada a 8 m de sua base ligada ao topo do edifício. Calcule o 
comprimento dessa escada. 
 
 
 
 
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Medidas de arcos e ângulos na circunferência 
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6)Na figura tem-se que 
BCAB 
 e F é ponto médio do lado 
BE
 do retângulo 
BCDE. 
 
Qual é a área do retângulo 
BCDE? 
 
7)Aplicando as relações métricas nos triângulos retângulos abaixo, 
determine o valor de x: 
a) b) 
 
 
c) d) 
 
 
 
 
8)Com base no triângulo abaixo, assinale a alternativa correta. 
 
6 
n 12 
 
3 9 
b 
 
3 
62
 
x 
y 
 
h 
b 
c 
a 
2 4 
 
 
 
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Medidas de arcos e ângulos na circunferência 
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9)Assinale a opção correta dentre as alternativa abaixo. 
 
 
10)O ângulo de elevação do pé de uma árvore, a 50 m da base de uma 
encosta, ao topo da encosta é de 60º. Que medida deve ter um cabo 
para ligar o pé da árvore ao topo da encosta? 
 
 
11)Dois observadores se postavam de maneira que um deles pudesse ver o 
barco sob um ângulo de 90º com relação à linha da costa e o outro sob 
um ângulo de 45º. Qual deve ser a distância entre o barco e costa, se a 
distância entre os observadores é igual a 50 metros? 
 
12)Um barco parte de A para atravessar um rio. A direção de seu 
deslocamento forma um ângulo de 120º com a margem do rio. Sendo a 
largura do rio 60 m, qual a distância AB percorrida pelo barco na viagem 
que faz de uma margem à outra? 
 
13)Calcular os ângulos internos de um triângulo retângulo no qual os 
catetos medem 9 e 12 cm. Obs: Se não encontrar valores notáveis para 
as relações trigonométricas dê a resposta em função da “relação 
trigonométrica inversa. 
Resposta: Os dois ângulos internos medem 
 
 
 e 
 
 
 . 
 
14)Calcular os lados de um triângulo retângulo cuja altura em relação à 
hipotenusa é 4 e um dos ângulos é . 
Resposta: hipotenusa=
 
 
. Catetos: 
 
 
 e . 
 
 
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15)Calcule os ângulos de um triângulo retângulo de hipotenusa 20, 
sabendo que a mediana relativa a um dos catetos mede 15. Obs: Se não 
encontrar valores notáveis para as relações trigonométricas dê a 
resposta em função da “relação trigonométrica inversa. 
Lembrete: a mediana de um triângulo é a reta que liga um vértice deste 
triângulo ao ponto médio do lado oposto a este vértice. 
Resposta: 
 
 
 e 
 
 
 
 
16) (FFCLUSP – 66) 
Na figura ao lado, os ângulos 
 e , i= 1,2,... são 
retos. Quanto vale a soma dos 
segmentos , , ...em 
função da medida de 
( ) e de ? 
 
Resposta:
 
 
 
 
17)Calcular o ângulo formado pela diagonal e o menor lado de um 
retângulo cujos lados estão na razão 
 
 
. Se não encontrar valores 
notáveis para as relações trigonométricas dê a resposta em função da 
“relação trigonométrica” inversa. 
Resposta: 
 
 
 . 
 
18)Calcular a área de um triângulo isóceles cuja base mede 2 e 
 . 
 
Resposta: . 
 
 
 
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19) Um observador vê o topo de um prédio, construído em um terreno 
plano, sob um ângulo de . Afatando-se do edifício mais 30 metros, 
ele passa a ver o topo do prédio sob um ângulo de . Qual é a altura 
do prédio? 
 
Resposta: 
 
 
 metros. 
 
20)A partir de um ponto, observa-se o topo de um prédio sob um ângulo de 
30º. Caminhando 24 m em direção ao prédio, atingimos outro ponto, de 
onde se vê o topo do prédio segundo um ângulo de 60º. Desprezando a 
altura do observador, calcule, em metros, a altura do prédio. 
 
 
 
21)Para medir a altura de um prédio, um agrimensor sobe ao seu topo e 
avista a base de uma árvore sob um ângulo de depressão de 30º(ver 
figura). Em seguida, mede a distância do prédio à árvore e registra 
120√3m. Qual é a altura do prédio? 
 
 
 
 
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Medidas de arcos e ângulos na circunferência

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