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Um paralelepípedo é um sólido geométrico tridimensional que faz parte do conjunto dos prismas. Sendo assim, para que um prisma seja considerado um paralelepípedo, é necessário que suas bases sejam paralelogramos (polígono de quatro faces).
Dessa forma, eles são sólidos geométricos formados por um conjunto de seguimentos de reta, paralelos a uma reta, onde suas extremidades ficam em um paralelogramo e em um plano paralelo. Assim, paralelepídedos são prismas cuja base é um paralelogramo, além de ser um hexaedro com faces paralelas e em formato de paralelogramo.
Portanto, hoje vamos entender o que é um paralelepípedo e conhecer suas fórmulas geométricas. Confira.
Elementos do paralelepípedo
Primeiramente, um paralelepípedo é formado por faces, vértices e arestas, como várias outras formas geométricas. Portanto, ele conta com:
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- Faces: possui 6 faces, ou seja, possui 6 lados formados pela união das arestas;
- Vértices: possui 8 vértices, isto é, possui 8 pontos onde as arestas se encontram;
- Arestas: possui 12 arestas, ou seja, possui 12 segmentos de retas ligadas nos vértices que formam as faces.
Observe o exemplo abaixo:
Classificação
Sendo assim, eles são classificados conforme a perpendicularidade de suas arestas em ralação a base. Portanto, temos dois tipos de paralelepípedos, sendo eles:
- Paralelepípedos Retos: é quando as faces laterais são perpendiculares, ou seja, as arestas formam ângulos retos (90°) com as bases. Dessa forma, é chamado também de paralelepípedo retângulo. Contudo, um caso especial do sólido retângulo é o cubo, figura geométrica com seis faces quadrangulares.
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- Paralelepípedos Oblíquos: são aqueles no qual as faces laterais não formam ângulos retos, mas sim perpendiculares.
Planificação
Como visto anteriormente, um paralelepípedo é um sólido geométrico. Em outras palavras, uma figura com três dimensões: altura, largura e comprimento.
Sendo assim, todos os sólidos geométricos são formados pela união de figuras planas, como veremos na imagem abaixo que exemplifica a planificação de um paralelepípedo reto:
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Contudo, embora na imagem as bases e faces sejam formadas por retângulos, também podem ter paralelepípedos formados por bases quadradas.
Fórmulas do paralelepípedo
Um paralelepípedo é calculado de acordo com a sua área, volume e diagonal, como veremos nas fórmulas abaixo:
Área da Base
Como a base é formada por uma figura geométrica plana, para calcular sua área, é necessário multiplicar a base pela altura da figura.
Sendo assim, temos a seguinte fórmula:
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Ab = b . h
Onde:
- Ab: é a área;
- b: é a medida da base;
- h: é a medida da altura.
Área Lateral
Já o cálculo da área lateral deve ser feito baseado nas quatro faces laterais que formam pares. Então, usamos a seguinte fórmula:
- Al = ac + bc + ac + bc ⇒
- Al = 2(ac + bc)
Onde:
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- Al: é a área;
- a, b e c: são as medidas das arestas.
Área Total
Contudo, para calcular a área total é preciso observar a figura planificada do paralelepípedo. Assim, a área total é a soma dos pares das faces opostas. Desse modo, temos a seguinte fórmula:
At = 2(ab + ac + bc)
Onde:
- At: é a área;
- a, b e c: são as medidas das arestas.
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Volume do Paralelepípedo
Para calcular o volume de um paralelepípedo é preciso seguir o mesmo processo do volume do cubo. Ou seja, calcular o produto do comprimento, da largura e da altura. Vejamos a fórmula do cálculo:
V = a . b . c
Onde:
- V: é o volume;
- a, b e c: são as medidas das arestas.
Portanto, é equivalente dizer que o volume é a medida da área da base pela altura.
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Diagonal do Paralelepípedo
Seja ABCDEFGH um paralelepípedo retângulo qualquer. Então, considere que x é a medida de seu comprimento, y é a medida de sua largura e z é a medida de sua altura, assim como na figura abaixo:
Desse modo, a diagonal do paralelepípedo pode ser encontrada por meio da fórmula:
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d2 = x2 + y2 + z2
d = √(x2 + y2 + z2)
Exercícios
Por fim, agora que já vimos o que é um paralelepípedo, suas classificações, e fórmulas, vamos a alguns exercícios:
Exercício 1
(Enem 2010) Uma fábrica produz barras de chocolates no formato de paralelepípedos e de cubos, com o mesmo volume. As arestas da barra de chocolate no formato de paralelepípedo medem 3 cm de largura, 18 cm de comprimento e 4 cm de espessura.
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Portanto, analisando as características das figuras geométricas descritas, a medida das arestas dos chocolates que têm o formato de cubo é igual a:
a) 5 cm
b) 6 cm
c) 12 cm
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d) 24 cm
e) 25 cm
Resposta: Letra B
Para encontrar o volume da barra de chocolate aplica-se a fórmula do volume do paralelepípedo, ou seja:
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V = a.b.cV = 3.18.4V = 216 cm3
Já o volume do cubo é calculado pela fórmula: V = a3 , onde “a” corresponde as arestas da figura, assim sendo:
a3 = 216a = 3√216a = 6cm
Exercício 2
Considere uma caixa de água com formato de um paralelepípedo reto retângulo totalmente cheia, com comprimento de 7 m e largura de 4 m e altura de 2 m. Sendo assim, calcule:
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a) A área da base
b) A área lateral
c) A área total
d) O volume de água da caixa
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Resposta:
a) A área da base desta caixa é calculada pela fórmula do retângulo, pois a base da caixa é retangular: Ab= b . h = 7 x 4 = 28 m²
b) A área da lateral de um paralelepípedo é calculada pela fórmula: Al= 2(ac + bc). Sendo assim, fica: (7 x 2) + (4 x 2) = 14 + 8 = 22 m²
c) A área total do paralelepípedo é: At= 2(ab + ac + bc) = (7 x 4) + (7 x 2) + (4 x 2) = 28 + 14 + 8 = 50 m²
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d) O volume de um paralelepípedo é: V = a . b . c = 7 x 4 x 2 = 56 m³
Enfim, agora que você já aprendeu muito sobre o assunto, que tal conhecer mais sobre o cilindro?
Fontes: Matemática Básica, Toda Matéria, Brasil Escola
Fonte Imagem Destaque: O Globo
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paralelogramos como bases
Classificação dos paralelepípedos
Os paralelepípedos são classificados com relação aos ângulos em sua base e em suas faces laterais:
-
Um prisma reto que possui bases retangulares é um paralelepípedo retângulo. Lembre-se de que retângulos são paralelogramos que possuem todos os ângulos internos retos. Esses paralelepípedos também são chamados de blocos retangulares ou ortoedros.
Observe que todas as faces de um paralelepípedo retângulo são retângulos, assim, qualquer ângulo encontrado entre duas arestas é reto.
-
Um paralelepípedo que não é retangular é oblíquo. Esse tipo de paralelepípedo não possui todos os ângulos entre duas arestas retos. Observe um exemplo na imagem a seguir:
-
Um paralelepípedo retangular em que todas as faces são quadrados é chamado de cubo, também conhecido como hexaedro regular.
Propriedades das faces e arestas de um paralelepípedo
-
As bases de um paralelepípedo são congruentes e os planos que as contêm são paralelos;
-
Faces laterais opostas de um paralelepípedo são congruentes e os planos que as contêm são paralelos;
-
As arestas opostas de um paralelepípedo são congruentes e paralelas. Uma aresta de um paralelepípedo é oposta a outras três arestas, como mostra a imagem a seguir.
As arestas EF, HG e DC são opostas à aresta AB. A partir dessa propriedade, podemos concluir que essas quatro arestas são, duas a duas, paralelas entre si.
Diagonal do paralelepípedo
Seja a figura a seguir um paralelepípedo e AG uma de suas diagonais. Considere os comprimentos a, b e c, dados na figura como comprimento, largura e altura do prisma.
Nessas condições, a diagonal do paralelepípedo é calculada pela seguinte expressão:
d = √(a2 + b2 + c2)
Se esse prisma for um cubo, todas as suas arestas terão medidas iguais. Seja essa medida x, a diagonal do cubo pode ser calculada por:
d = √(a2 + b2 + c2)
d = √(x2 + x2 + x2)
d = √(3x2)
d = x√3
Exemplo:
Calcule a medida da diagonal de um paralelepípedo que possui 15 m de comprimento, 3 m de largura e 10 m de altura.
Solução:
d = √(a2 + b2 + c2)
d = √(152 + 32 + 102)
d = √(225 + 9 + 100)
d = √(334)
d = 18,27 m, aproximadamente.