Pode se definir ângulo como a região do plano

Ângulo é a medida da abertura entre duas semirretas. Essa medida também pode ser observada entre retas, entretanto, a intersecção entre duas retas gera quatro ângulos em vez de um só. Quando duas retas paralelas são cortadas por uma reta transversal, são formados oito ângulos que possuem propriedades e características comuns à posição que ocupam.

Retas paralelas – região interna e externa

Duas retas r e s são chamadas de paralelas quando não possuem nenhum ponto em comum. Para representar o paralelismo, podemos escrever apenas: r\\s.

A região que fica entre as duas retas paralelas, colorida na figura abaixo, é a região interna dessas duas retas.

Pode se definir ângulo como a região do plano

Região interna das retas paralelas r e s

Já a região que não fica entre as duas retas é chamada de região externa. Observe na imagem a seguir todos os ângulos formados por uma retra transversal a r\\s e que estão na região externa dessas retas.

Ângulos alternos internos

O nome já indica a posição ocupada por ângulos alternos internos. A palavra interno indica que esses ângulos estão na região interna das retas paralelas, e a palavra alterno indica que eles estão em posições alternadas com relação à reta transversal. Sendo assim, ângulos alternos internos são aqueles que estão na região interna das retas paralelas e em lados alternados da reta transversal.

Observe na figura a seguir que os ângulos α e β estão na região interna das retas r e s. Ao mesmo tempo, o ângulo α está à direita e o ângulo β está à esquerda da reta transversal.

Assim, podemos dizer que α e β são alternos internos.

Ângulos alternos externos

Ocupam a região externa das retas paralelas e, ao mesmo tempo, estão em lados opostos da reta transversal. Observe um exemplo de ângulos alternos externos na figura a seguir.

É válido destacar que os ângulos alternos externos e internos são congruentes.

Exemplos

Calcule a medida dos ângulos em destaque na figura a seguir.

Solução:

Sabendo que ângulos alternos internos são iguais, podemos escrever a seguinte equação:

8x – 60 = 4x + 20

8x – 4x = 20 + 60

4x = 80

x = 80
      4

x = 20

Para calcular os valores dos ângulos, basta substituir x na expressão dada para cada um deles. Observe:

8x – 60 =

8·20 – 60 =

160 – 60 =

100°

4x + 20 =

4·20 + 20 =

80 + 20 =

100°

A palavra ângulo é usada para nomear dois objetos. O primeiro é a abertura entre duas semirretas que compartilham o mesmo ponto inicial ou entre dois segmentos de reta que possuem apenas uma extremidade comum. O segundo é um número usado para medir essa abertura. Sendo assim, quanto maior o valor numérico atribuído a um ângulo, maior será a abertura entre as duas semirretas relacionadas a ele.

Definição formal de ângulo

Um ângulo é o conjunto de pontos formados por duas semirretas (lados do ângulo) que possuem o mesmo ponto de partida (vértice do ângulo). Para compreender o que é o ponto de partida de uma semirreta, clique aqui.

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Exemplo de ângulo formado pela região interna a dois segmentos de reta

Na imagem acima, as semirretas com origem no ponto O definem o ângulo AÔB, que também pode ser representado por uma letra minúscula ou por uma letra grega minúscula. A unidade de medida usada para os ângulos é o grau, representado pelo símbolo ° logo depois do número referente a ele.

Os ângulos também podem dar a ideia de movimento do ponto. Esse movimento sempre será circular, e uma volta completa representará a medida 360°.

Medindo ângulos

O instrumento utilizado para medir um ângulo é o transferidor. Observe que a distância entre dois segmentos de reta é diferente dependendo do lugar escolhido para extrair essa medida:

Posicione o vértice do ângulo no centro do transferidor, como indicado. Quando uma das semirretas estiver apontando para 0°, a outra apontará para o ângulo formado por elas naquele sentido. No exemplo, o sentido é o horário, por isso, acompanhamos no transferidor os números dispostos nesse sentido.

Ângulos notáveis: ângulo raso

O ângulo raso mede 180°. Como uma volta completa representa um ângulo de 360° e 180° é exatamente metade de 360°, o ângulo raso também representa meia-volta.

Analisando a imagem acima, notamos que as semirretas que formam um ângulo raso são “lados” de uma reta. Na realidade, se marcarmos um ponto de interesse sobre uma reta, ao medir o ângulo formado nesse ponto, encontraremos 180°.

Ângulos notáveis: ângulo reto

O ângulo reto mede 90°. Ele equivale a um quarto de volta, já que 90° é igual a um quarto de 360° – a volta completa. Esse ângulo é muito usado em propriedades de figuras geométricas com relação à sua altura, pois esta é o segmento de reta que liga o ponto “mais alto” de uma figura ao solo, formando um ângulo de 90°.

Ângulos notáveis

Alguns ângulos são considerados notáveis por causa de sua grande relevância nos cálculos matemáticos e por serem encontrados com mais frequência na natureza e nas obras humanas. Esses ângulos são 30°, 45° e 60°, respectivamente AÔB1, AÔB2 e AÔB3.

Pode se definir ângulo como a região do plano

Ângulos complementares, suplementares e adjacentes geometria Os ângulos são regiões do plano limitadas por duas semirretas que partem do vértice. Existem ângulos complementares, suplementares e adjacentes. Podemos dizer que um ângulo é a região do plano limitada por duas semirretas de mesma origem. Observe: Ângulos complementares Ângulos complementares são dois ângulos em que sua soma resulta em 90º, isto é, um é o complemento do outro. Ângulos cuja soma é igual a 90° Na ilustração, temos que: α + β = 90º α = 90º – β β = 90º – α Ângulos suplementares Ângulos suplementares são dois ângulos que, somados, são iguais a 180º, assim, um é o suplemento do outro. Ângulos cuja soma é igual a 180° Na ilustração, temos que: α + β = 180º α = 180º – β β = 180º – α Ângulos adjacentes Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;) Ângulos adjacentes são aqueles que possuem um lado em comum, mas as regiões determinadas não possuem pontos em comum. Observe a ilustração: Ângulos que possuem lado em comum Os ângulos AÔB e BÔC são adjacentes, pois possuem o lado OB em comum, mas suas regiões determinadas não possuem pontos em comum. Os ângulos AÔC e AÔB não são adjacentes, embora possuam um lado em comum, pois suas regiões determinadas possuem pontos em comum. A região AÔB pertence à região AÔC. Ângulos adjacentes e suplementares De acordo com a ilustração acima, os ângulos AÔB e BÔC são adjacentes, pois possuem o lado OB em comum e suas áreas determinadas não possuem duplicidade de pontos. São também suplementares, pois a soma dos ângulos α e β totaliza 180º.   Os ângulos podem ser complementares, suplementares e adjacentes

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