1. AVALIAÇÃO DIAGNÓSTICA DE MATEMÁTICA – 30 ANO – ENSINO MÉDIO 1) Marcelo trabalha em uma loja de brinquedos. Seu salário mensal é representado por uma função do 10 grau, S = 0,02.x + 50, onde x representa o total das vendas, em reais. Num dado mês, Marcelo recebeu R$ 1.250,00. O valor das vendas efetuadas é de: a) R$ 740,00 b) R$ 6.000,00 c) R$ 60.000,00 d) R$ 7.400,00 e) R$ 2.550,00 Resposta: S = 0,02.x + 50 1250 = 0,02.x + 50 1250 – 50 = 0,02.x 1200 = 0,02.x x = 60.000 Alternativa correta C 2) O gráfico mostra a temperatura numa cidade da Região Sul, em um dia do mês de julho. A temperatura aumenta no período de: a) 8 às 16h b) 16 às 24h c) 4 às 12h d) 12 às 16h e) 4 às 16h Alternativa correta C 3) Isabel, Helena e Carla saíram às compras e adquiriram mercadorias iguais, porem, em quantidades diferentes. Isabel comprou uma sandália, duas saias e três camisetas, gastando um total de R$ 119,00. Helena comprou duas sandálias, três saias e cinco camisetas, gastando um total de R$ 202,00. Carla comprou duas sandálias, uma saia e duas camisetas, gastando um total de R$ 118,00. Para determinar os preços x, y e z da sandália, da saia e da camiseta, respectivamente, resolve-se o sistema dado por: 1 2 3 119 2 3 5 202 2 1 2 118 O sistema associado a essa matriz é: a) x + 2y + 2z = 119; 2x + 3y + z = 202 e 3x + 5y + 2z = 118 b) 3x + 2y + z = 119; 5x + 3y + 2z = 202 e 2x + y + 2z = 118 c) 2x + 2y + z = 119; x + 3y + 2z = 202 e 2x + 5y + 3z = 118 d) 3x + 5y + 2z = 119; 2x + 3y + z = 202 e x + 2y + 2z = 118 e) x + 2y + 3z = 119; 2x + 3y + 5z = 202 e 2x + y + 2z = 118 Alternativa correta E 4) Uma bala é atirada de um canhão e sua trajetória descreve uma parábola de equação y = - 5x2 + 90x, onde as variáveis x e y são medidas em metros. Nessas condições, a altura máxima atingida pela bala é: a) 30m b) 40,5m c) 81,5m d) 405m e) 810m Resposta y = - 5x2 + 90x yv = - Δ Δ = b2 – 4.a.c 4.a Δ = 902 – 4.(-5).0 Yv = - 8100 Δ = 8100 + 0 - 20 Δ = 8100 yv = 405 m de altura Alternativa correta D
2. 5) Um fazendeiro dividiu uma área circular de 100m de raio em setores iguais de ângulo central 450, conforme a figura abaixo: Sabendo que o comprimento de uma circunferência de raio r é igual a 2π r, onde π = 3,14, quantos metros de arame o fazendeiro vai precisar para circundar a figura demarcada? a) 200,785m b) 557m c) 278,5m d) 478,5m e) 178,5m Resposta: Comprimento total da circunferência = 2.3,14.100 = 628 m A área circular foi dividida em ângulo de 450 assim temos 8 setores -> 628m ÷ 8 = 78,5 m cada setor + dois raios de 100 m demarcados temos: 278,5 m. Alternativa correta C 6) Em uma pesquisa realizada, constatou-se que a população A de determinada bactéria cresce segundo a expressão A(t) = 25. 2t, onde t representa o tempo em horas. Para atingir uma população de 400 bactérias, será necessário um tempo de: a) 2 horas b) 6 horas c) 4 horas d) 8 horas e) 16 horas Respostas: A(t) = 25. 2t 400 = 25. 2t 400 = 2t 2t = 16 2t = 24 t = 4 horas 25 Alternativa correta C 7) Observe abaixo a figura F desenhada numa região quadriculada. Considere cada quadradinho como uma unidade de área e represente -a por u. Então, a área da região delimitada pela figura F é: a) 9 u. b) 11 u. c) 13 u. d) 15 u. e) 16 u. Alternativa correta B 8) Um copo cilíndrico, com 4 cm de raio e 12 cm de altura, está com água até a altura de 8 cm. Foram então colocadas em seu interior n bolas de gude, e o nível da água atingiu a boca do copo, sem derramamento. Qual é o volume, em cm3, de todas as n bolas de gude juntas? a) 32π b) 48π c) 64π d) 80π e) 96π Resposta: O volume do copo cheio é V = Ab. H, sendo Ab = π.r2 Ab = 16π cm2 V = 16π.12 V = 192π cm3 O volume do copo com altura de 8 cm é: V = Ab. H V = 16π.8 V = 128π Assim temos que as n bolas de gude ocuparam o restante do volume do copo:
3. V = 192π - 128π V = 64π cm3 Alternativa correta C 9) Um caixa eletrônico disponibiliza cédulas de R$ 20,00 e R$ 50,00. Um cliente sacou neste caixa um total de R$ 980,00, totalizando 25 cédulas. Essa situação está representada pelo gráfico abaixo. Sabendo que r1 representa a reta de equação x + y = 25 e r2 a reta de equação 20x + 50y = 980, onde x representa a quantidade de cédulas de R$ 20,00 e y a quantidade de cédulas de R$ 50,00, a solução do sistema formado pelas equações de r1 e r2 é o par ordenado: a) (8, 17) b) (9, 16) c) (11, 14) d) (12, 13) e) (15, 16) Resposta: x + y = 25 (-20) -20x – 20y = - 500 x + 16 = 25 20x + 50y = 980 20x + 50y = 980 x = 25 – 16 30y = 480 y = 480 y = 16 x = 9 30 Alternativa correta B 10) Ao fazer uma planta de uma pista de atletismo, um engenheiro determinou que, no sistema de coordenadas usado, tal pista deveria obedecer à equação: x2 + y2 + 4x – 10y + 25 = 0 Desse modo, os encarregados de executar a obra começaram a construção e notaram que se tratava de uma circunferência de: a) Raio 4 e centro nos pontos de coordenadas (- 2, 5). b) Raio 4 e centro nos pontos de coordenadas ( 2, - 5). c) Raio 2 e centro nos pontos de coordenadas ( 2, - 5). d) Raio 2 e centro nos pontos de coordenadas (- 2, 5). e) Raio 5 e centro nos pontos de coordenadas (4 , - 10). Resposta: Centro - 2ax = 4 a = - 2 - 2by = - 10 b = 5 Centro (- 2, 5) Raio: R2 = a2 + b2 – c r2 = (-2)2 + 52 – 25 r2 = 4 + 25 – 25 r2 = 4 r = √4 r = 2 Alternativa correta D 11) Em uma escola, há 400 estudantes do sexo masculino e 800 do sexo feminino. Escolhendo-se ao acaso um estudante dessa escola, qual a probabilidade de ele ser do sexo feminino? a) ¼ b) 1/3 c) 2/5 d) ½ e) 2/3 Resposta: 400 – Masculino Probabilidade de ele ser do sexo feminino -> 800 = 2 + 800 – Feminino 1.200 3 1.200 estudantes Alternativa correta E
4. 12) Uma lata de leite em pó, em forma de um cilindro reto, possui 8 cm de altura com 3 cm de raio da base. Uma outra lata de leite, de mesma altura e cujo raio é o dobro da primeira lata, possui um volume: a) Duas vezes maior b) Três vezes maior c) Quatro vezes maior d) Sete vezes maior e) Oito vezes maior Resposta: 1a lata -> Ab = πr2 V = Ab . h Ab = π. 32 V = 9π. 8 Ab = 9.π V = 72π cm3 2a lata -> Ab = πr2 V = Ab . h Ab = π. 62 V = 36π. 8 Ab = 36.π V = 288π cm3 Então temos: 288π ÷ 72π = 4 ou seja a 2a lata é 4 vezes maior que a 1a. Alternativa correta C 13) Duas pessoas, partindo de um mesmo local, caminham em direções ortogonais. Uma pessoa caminhou 12 metros para o sul, a outra 5 metros para o leste. Qual a distancia que separa essas duas pessoas? a) 7 m b) 13 m c) 17 m d) 60 m e) 119 m Resposta: 5 m para leste Utilizando Pitágoras temos: 5 (c) a2 = b2 + c2 12 m para a2 = 122 + 52 Sul x ? 12 x?(a) a2 = 144 + 25 (b) a2 = 169 a = √169 a = 13 m Alternativa correta B 14) Um pintor dispõe de 6 cores diferentes de tinta para pintar uma casa e precisa escolher uma cor para o interior e outra diferente para o exterior, sem fazer nenhuma mistura de tintas. De quantas maneiras diferentes essa casa pode ser pintada usando-se apenas as 6 cores de tinta que ele possui? a) 6 b) 15 c) 20 d) 30 e) 60 Resposta: Usamos Arranjo Simples: A6,2 = 6! A6,2 = 6.5.4.3.2.1 A6,2 = 6.5 A6,2 = 30 (6 – 2)! 4.3.2.1 Então temos 30 maneiras diferentes para pintar essa casa.
5. Alternativa correta D 15) O termo que ocupa a posição n em uma progressão aritmética (PA) de razão r é dado pela fórmula an = a1 + (n – 1). r. Com o auxílio dessa informação, assinale a alternativa que representa o décimo quarto termo de uma PA de razão 3, cujo primeiro termo é igual a 20. a) 39 b) 42 c) 59 d) 62 e) 70 Resposta: an = a1 + (n – 1). r an = 20 + (14 – 1). 3 an = 20 + 13. 3 an = 20 + 39 an = 59 Alternativa correta C 16) Ao passar sua mão direita por todos os vértices e arestas de um poliedro, somente uma vez, um deficiente visual percebe que passou por 8 vértices e 12 arestas. Conclui -se que o número de faces desse poliedro é igual a: a) 20 b) 12 c) 8 d) 6 e) 4 Resposta: Utilizando o Teorema de Euler temos: V + F = A + 2 8 + F = 12 + 2 F = 14 – 8 F = 6 -> hexágono Alternativa correta D 17) Decompondo o polinômio P(x) = 5x2 + 5x – 30 em fatores do 1o grau, obtém-se: a) 5(x – 5).(x – 3) b) 5(x – 2).(x + 3) c) 5(x + 2).(x – 3) d) 5(x – 2).(x – 3) e) 5(x + 5).(x + 3) Resposta: Simplificando por 5 o polinômio: 5x2 + 5x – 30 temos x2 + x – 6 Decompondo-o por Bháskara temos: Δ = b2 – 4. a.c Δ = 12 – 4. 1. (-6) Δ = 1 + 24 Δ = 25 X = - b ± √Δ x = - 1 ± 5 x’ = 2 e x” = - 3 Utilizando o teorema da decomposição temos: 2.a 2 P(x) = n. (x – r1). (x – r2) P(x) = 5. (x – 2). (x + 3) Alternativa correta B 18) Uma pesquisa sobre o perfil dos fumantes mostrou que, num grupo de 1.000 pessoas, 70% fumam e, dentre os fumantes, 44% são mulheres. Qual a quantidade de homens que são fumantes no grupo de 1.000 pessoas? a) 700 b) 660 c) 392 d) 308 e) 260
6. Resposta: 70% fumam -> 44% são mulheres e 56% são homens 1000 pessoas 30% não fumam Temos então 1000 x 70% = 700 pessoas fumantes x 56% homens = 392 homens Alternativa correta C 19) Para se deslocar de sua casa até a sua escola, Pedro percorre o trajeto representado na figura abaixo: Sabendo que tg(600) = √3, a distancia total, em km, que Pedro percorre no seu trajeto de casa para a escola é de: a) 4 + √3 b) 4 + √3 c) 4 + 4√3 d) 4√3 e) 4 + 4√3 4 3 Resposta: Tg 600 = c √3 = 4 √3.b = 4 b = 4 . √3 b = 4.√3 4 km a? b 1 b √3 √3 3 (c ) b Então temos que o trajeto que Pedro percorre é: 4 + 4√3 3 Alternativa correta C 20) Para alugar um carro, uma locadora cobra uma taxa básica fixa acrescida de uma taxa que varia de acordo com o número de quilômetros rodados. A tabela abaixo mostra o custo ( C ) do aluguel, em reais, em função do número de quilômetros rodados ( q). Entre as equações abaixo, a que melhor representa esse custo é: a) C = 5q + 5 b) C = 4q + 15 c) C = q + 45 d) C = q/2 + 50 e) C = q/10 + 55 Resposta: Podemos observar que em todos os custos temos: q/2 + 50 10/2 + 50 = 55 20/2 + 50 = 60 30/2 + 50 = 65 40/2 + 50 = 70 Alternativa correta D 21) Imagine que o alojamento das equipes de vôlei masculino e feminino, nas Olimpíadas de Atenas, estão em uma mesma avenida. Como pessoas do mesmo sexo não podem ficar juntas, elas foram
7. separadas à esquerda e à direita do Centro de Apoio de Atenas (CAA), que está localizado no meio da avenida, e que está representado pelo zero. Os meninos ficam à esquerda e a localização deles é representada pelo sinal - e as meninas ficam à direita, com localização representada pelo sinal +. Qual é a localização das equipes do Brasil de vôlei masculino e feminino, respectivamente, na avenida olímpica? a) 45 e 55 b) – 45 e – 55 c)55 e – 45 d) – 55 e 45 e) 45 e – 55 Alternativa correta D 22) Uma pedra é largada de uma certa altura e cai em queda livre. A velocidade da pedra durante a queda pode ser expressa por v = g.t, em que g = 10m/s2 é a aceleração da gravidade e t o tempo transcorrido. Qual é o gráfico que melhor ilustra a velocidade da pedra em função do tempo, até o momento em que ela chega no solo? Alternativa correta A 23) Ao fazer um molde de um copo, em cartolina, na forma de cilindro de base circular qual deve ser a planificação do mesmo? Alternativa correta D 24) Observe o gráfico a seguir: Qual a função que melhor representa esse gráfico no intervalo [0, 2π]? a) y = - cos x b) y = cos x/2 c) y = sen (- x) d) y = sen 2x e) y = 2. Sen x Resposta: 900 = 1 Temos função seno: y = sen x 1800= 0 00 ou 3600 = 0 2700 = - 1 Invertendo os sinais da função teremos y = sen ( - x) Alternativa correta C 25) Seis máquinas fabricam, em 48 dias, 2000 metros de um tecido. Em quantos dias oito máquinas, com a mesma capacidade de produção, vão fabricar 3000 metros do mesmo tecido? a)16 b) 24 c) 36 d) 54 e) 64 Resposta: Temos uma regra de três compostas (inversamente proporcional) Máquinas dias tecido (m) 6 48 2000 8 x 3000 Solucionando temos: 48 = 2000.8 16000x = 864000 x = 864000 x = 54 dias X 3000.6 16000 Alternativa correta D
8. 26) O gráfico abaixo mostra a distancia, em metros, que um pequeno roedor e stá de sua toca, no período de 17h até às 23h. Os dados indicam que o animal: a) Está mais longe da toca às 23 horas. b) Está 8 metros longe da toca entre 18 e 20 horas. c) Está sempre afastando-se da toca entre 18 e 20 horas. d) Estava na toca uma única vez entre 17 e 23 horas. e) Estava sempre a menos de 12 m da toca nesse período. Alternativa correta B 27) Uma empresa que fabrica esferas de aço, de 6 cm de raio, utiliza caixas de madeira, na forma de um cubo, para transportá-las. Sabendo que a capacidade da caixa é de 13.824 cm3, então o número máximo de esferas que podem ser transportadas em uma caixa é igual a: a) 4 b) 8 c) 16 d) 24 e) 32 Resposta: O raio das esferas é de 6 centímetros, dessa forma o diâmetro mede 12 cm. A caixa possui um volume de 13.824 cm3, então temos o cálculo do volume de um cubo: V = a3 13824 = a3 assim temos: a = 24 cm. Assim serão colocadas 4 esferas em cada camada da caixa, constituindo 2 camadas, então 8 esferas. Alternativa correta B 28) Brasil e França tem relações comerciais há mais de 200 anos. Enquanto a França é a 5a nação mais rica do planeta, o Brasil é a 10a, e ambas se destacam na economia mundial. No entanto, devido a uma série de restrições, o comércio entre esses dois países ainda não é adequadamente explorado, como mostra a tabela seguinte, referente ao período 2003-2007. Os dados da tabela mostram que, no período considerado, os valores médios dos investimentos da França no Brasil foram maiores que os investimentos do Brasil na França em um valor: a) Superior a 500 milhões de dólares, mas inferior a 600 milhões de dólares. b) Superior a 300 milhões de dólares, mas inferior a 400 milhões de dólares. c) Superior a 400 milhões de dólares, mas inferior a 500 milhões de dólares. d) Superior a 600 milhões de dólares. e) Inferior a 300 milhões de dólares. Resposta: Investimentos Brasil na França Investimentos França no Brasil 367 825 357 485 354 1458 539 744 280 1214 1.897 ÷ 5 = 379,4 4.726 ÷ 5 = 945,20 ≠ 565,80 Alternativa correta A
9. 29) Os pesquisadores verificaram que numa determinada região quando a pressão de um gás é de 6 atm, o volume é de 32 cm3, e quando a pressão é de 8 atm, o volume é de 20 cm3. A taxa média de redução do volume é representada pela declividade da reta que passa por P1 = (6, 32) e P2 = (8, 20), ilustrada no gráfico abaixo. Nesse caso, a declividade é igual a: a) – 6 b) 6 c) 8 d) 20 e) 32 Resposta: Utilizando a equação geral da reta temos: x y 1 x y 32x + 8y + 120 – 256 – 20x – 6y = 0 6 32 1 6 32 12x + 2y – 136 = 0 ÷ 2 8 20 1 8 20 6x + y – 68 = 0 Coeficiente angular: m = -a m = -6 m = - 6 b 1 Alternativa correta A 30) Suponha que num dia de outono a temperatura f(t), em graus, era uma função do tempo t, medido em horas, dada por f(t) = t2 – 7t. A que horas desse dia a temperatura era igual a 180 C? a) Às 5 horas b) Às 18 horas c) Às 7 horas d) Às 9 horas e) Às 2 horas Resposta: Por substituição a um termo da função dada temos: f(t) = t2 – 7t f (9)= 92 – 7.9 f(9) = 81 – 63 f(9) = 18 180 às 9 horas. Alternativa correta D
