Maria tem 5 blusas e 2 saias de quantos modos diferentes ela pode se vestir com essas roupas

2 0 BIMESTRE INFORMÁTICA 3 0 ANO ANÁLISE COMBINATÓRIA Análise Combinatória é um conjunto de procedimentos que possibilita a construção de grupos diferentes formados por um número finito de elementos de um conjunto sob certas circunstâncias. Na maior parte das vezes, tomaremos conjuntos Z com m elementos e os grupos formados com elementos de Z terão p elementos, isto é, p será a taxa do agrupamento, com p < m. Arranjos, Permutações ou Combinações, são os três tipos principais de agrupamentos, sendo que eles podem ser simples, com repetição ou circulares. Apresentaremos alguns detalhes de tais agrupamentos. Observação: É comum encontrarmos na literatura termos como: arranjar, combinar ou permutar, mas todo o cuidado é pouco com os mesmos, que às vezes são utilizados em concursos em uma forma dúbia! PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM O principio fundamental da contagem diz que um conhecimento ocorre em duas situações sucessivas e independentes, sendo que a 1 a situação ocorre de a maneiras e a 2 a de b maneiras, então o numero total de possibilidades de ocorrência desse acontecimento é dado pelo produto ab Exemplo: Um rapaz possui 4 bermudas e 3 camisas. De quantos modos diferentes ele Poe se vestir com essas roupas? Observe a árvores de possibilidades: Bermuda B 1 B 2 B 3 B 4 Camisa C 1 C 1.B 1 C 1.B 2 C 1.B 3 C 1.B 4 C 2 C 2.B 1 C 2.B 2 C 2.B 3 C 2.B 4 C 3 C 3.B 1 C 3.B 2 C 3.B 3 C 3.B 4 Fonte: Xavier e Barreto ( Matemática aula por aula vol 02.) Logo podemos verificar que há 12 modos distintos de se vestir. RESOLVA OS EXEMPLOS ABAIXO: a) Marina tem 5 blusas e 2 saias. De quantos modos diferentes ela pode se vestir com essas roupas? b)em um baile há 12 moças e 8 rapazes. Quantos casais (moças e rapazes) podem ser formados?

c)renato vai ao clube no qual existem 4 portas de entrada que dão acesso a 2 elevadores. Ele pretende ir ao 6 0 andar. De quantas maneiras diferentes poderá fazê-lo? d) Quantos números pares de dois algarismos podem ser formados no sistema decimal? e)de quanto maneiras 5 pessoas podem sentar em 5 cadeiras dispostas de forma linear? f)(mack-sp) Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, e 6 são formados números de 4 algarismos distintos. Entre eles, são divisíveis por 5: a-( ) 20 números b-( ) 30 números c-( ) 60 números d-( ) 120 números e-( ) 180 números g) (Unicamp-SP) Sabendo que os números de telefone não começam com o e nem com 1, quantos diferentes números de telefone podem ser formados com 7 algarismos? FATORIAL Seja o numero n natural. Por exemplo, quando calculamos a quantidade de números que podemos formar com 6 algarismos distintos usando 4, 5, 6, 7, 8 e 9, obtemos 720 possibilidades. Uma forma de exprimir todos esses produtos é usar o fatorial, indicado por um ponto de exclamação ao lado do número. Embora zero não seja um número natural no sentido que tenha tido origem nas coisas da natureza, procura-se dar sentido para a definição de fatorial de m de uma forma mais ampla, incluindo m=0 e para isto podemos escrever: 0!=1 Em contextos mais avançados, existe a função gama que generaliza o conceito de fatorial de um número real, excluindo os inteiros negativos e com estas informações pode-se demonstrar que 0!=1. RESOLVA OS EXEMPLOS ABAIXO: 1) Simplifique as expressões: a) b) c) d) 02) Encontre o conjunto solução da equação 03)(Santa Casa SP) A solução da equação é um numero natural: a-( ) par b-( ) cubo perfeito c-( ) maior que 10 d-( ) divisível por 5 e-( ) múltiplo de 3 04- Simplificando a expressão obtemos: a-( ) (n+1)² b-( ) n+1 c-( ) (n-1)² d-( ) n 1 e-( ) n 05-(PUC-SP) Se (n 6 )! = 720, então n é igual: a-( ) 12 b-( ) 576 c-( )16 d-( )4 e-( )30

PERMUTAÇÕES SIMPLES Quando formamos agrupamentos com m elementos, de forma que os m elementos sejam distintos entre sí pela ordem. As permutações podem ser simples, com repetição ou circulares. Permutação simples: São agrupamentos com todos os m elementos distintos. Fórmula: Ps(m) = m!. Exemplo: Seja C={A,B,C} e m=3. As permutações simples desses 3 elementos são 6 agrupamentos que não podem ter a repetição de qualquer elemento em cada grupo mas podem aparecer na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto: Ps={ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA} RESOLVA OS EXEMPLOS ABAIXO: 1) Em uma instante temos 12 livros, dos quais 3 são de matemática, um de português, um de culinária, um de inglês, um de história, um de geografia, outro de literatura infantil, um dicionário, um de física e mais um de estatística básica. De quantos modos diferentes podemos organizar os livros na instante de modo que os livros de matemática ficam sempre juntos? a-( ) 12! b-( ) 10! c-( ) 3!.10! d-( ) 12!. 3! 2) Uma escola possui 18 professores. Entre eles, serão escolhidos: um diretor, um vice diretor e um coordenador pedagógico. Quantas são as possibilidades de escolha? ANAGRAMA Anagrama: Um anagrama é uma (outra) palavra construída com as mesmas letras da palavra original trocadas de posição. P=m! Exemplo: a) Determine o número de anagramas que podemos obter com a palavra PAI. P A I P I A I A P I P A A I P A P I P(3) = 3! = 3.2.1 = 6 anagramas b)quantos anagramas podemos formar sem repetição com as 6 letras da palavra ARARAT. Utilizando a fórmula:

RESOLVAS OS EXEMPLOS ABAIXO: 1) Considere a palavra DILEMA e determine: a) o número total de anagramas. b) o número de anagramas que começam com a letra D c) o número de anagramas que começam com a letra D e termina com a letra A d) o numero de anagramas que começam com vogal 02- O número total de anagrama da palavra FUVEST que possuem as vogais juntas é: a-( ) 720 b-( ) 240 c-( ) 120 d-( ) 60 e-( ) 48 03- (FUVEST-SP) O numero de anagramas da palavra FUVEST que começam e terminam com vogal é: a-( ) 24 b-( )48 c-( ) 96 d-( )120 e-( ) 144 04- (FEI SP) Obter o numero de anagramas formados com a letras da palavra REPÚBLICA, nos quais as vogais se mantêm nas respectivas posições. a-( ) 24 b-( ) 48 c-( ) 96 d-( ) 120 e-( )48 ARRANJOS SIMPLES Chama-se arranjos simples todos os agrupamentos simples de p elementos que podemos formar com n elementos distintos, sendo. Cada um desses agrupamentos se diferencia de outro pela ordem ou natureza de seus elementos. A notação para o numero de arranjos simples de n elementos tomados p a p é: EXEMPLO: Uma escola possui 18 professores. Entre eles, serão escolhidos: um diretor, um vice diretor e um coordenador pedagógico. Quantas são as possibilidades de escolha? RESOLVAS OS EXEMPLOS: 1)Resolva a equação 2)Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar com os elementos do conjunto E={1, 2, 3, 4, 5} 3) (UFBA) Quatro jogadores saíram de Manaus para um campeonato em Porto Alegre, num carro de quatro lugares. Dividiram o trajeto em 4 partes e aceitaram que cada um dirigiria uma vez. Combinaram também que, toda vez houvesse mudança de motorista, todos deveriam trocar de lugar. O número de arrumações possíveis dos 4 jogadores durante toda viagem é: a-( ) 4 b-( ) 8 c-( )12 d-( )24 e-( ) 162 4- Num grande prêmio de Formula 1, participarão 20 pilotos e somente os 6 primeiros colocados marcam pontos. Quantas são as possibilidades de classificação nos 6 primeiros lugares? 5- Duas pessoas entram num ônibus que tem 7 lugares vagos. De quantas maneiras diferentes as 2 pessoas podem ocupar esses lugares? a-( ) 14 b-( ) 49 c-( ) 42 d-( ) 9

6- No Brasil as placas de automóveis apresentam 3 letras e 4 algarismos. Dispondo de 10 algarismos e de um alfabeto com 26 letras, quantas placas distintas é possível fabricar? COMBINAÇÕES Quando formamos agrupamentos com p elementos, (p<n) de forma que os p elementos sejam distintos entre sí apenas pela espécie. Seja C um conjunto com m elementos distintos. No estudo de arranjos, já vimos antes que é possível escolher p elementos de A, mas quando realizamos tais escolhas pode acontecer que duas coleções com p elementos tenham os mesmos elementos em ordens trocadas. Uma situação típica é a escolha de um casal (H,M). Quando se fala casal, não tem importância a ordem da posição (H,M) ou (M,H), assim não há a necessidade de escolher duas vezes as mesmas pessoas para formar o referido casal. Para evitar a repetição de elementos em grupos com a mesma quantidade p de elementos, introduziremos o conceito de combinação. Diremos que uma coleção de p elementos de um conjunto C com n elementos é uma combinação de n elementos tomados p a p, se as coleções com p elementos não tem os mesmos elementos que já apareceram em outras coleções com o mesmo número p de elementos. Combinação simples: Não ocorre a repetição de qualquer elemento em cada grupo de p elementos. Exemplo: a)seja C={A,B,C,D}, n=4 e p=2. As combinações simples desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 6 grupos que não podem ter a repetição de qualquer elemento nem podem aparecer na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto: Cs={AB,AC,AD,BC,BD,CD} b) Uma escola tem 9 professores de Matemática. Quatro deles deverão representar a escola em um congresso. Qual a quantidade de grupos de 4 professores poderão formar? Regras gerais sobre a Análise Combinatória Problemas de Análise Combinatória normalmente envolve um certo raciocínio, mas em geral eles podem ser resolvidos através de duas regras básicas: a regra da soma e a regra do produto. Regra da soma: A regra da soma nos diz que se um elemento pode ser escolhido de m formas e um outro elemento pode ser escolhido de n formas, então a escolha de um ou outro elemento se realizará de m+n formas, desde que tais escolhas sejam independentes, isto é, nenhuma das escolhas de um elemento pode coincidir com uma escolha do outro.

Regra do Produto: A regra do produto diz que se um elemento H pode ser escolhido de m formas diferentes e se depois de cada uma dessas escolhas, um outro elemento M pode ser escolhido de n formas diferentes, a escolha do par (H,M) nesta ordem poderá ser realizada de m.n formas. Exemplo: Consideremos duas retas paralelas ou concorrentes sem que os pontos sob análise estejam em ambas, sendo que a primeira r contem m pontos distintos marcados por r1, r2, r3,..., rm e a segunda s contem n outros pontos distintos marcados por s1, s2, s3,..., sn. De quantas maneiras podemos traçar segmentos de retas com uma extremidade numa reta e a outra extremidade na outra reta? É fácil ver isto ligando r1 a todos os pontos de s e assim teremos n segmentos, depois ligando r2 a todos os pontos de s e assim teremos n segmentos, e continuamos até o último ponto para obter também n segmentos. Como existem m pontos em r e n pontos em s, teremos m.n segmentos possíveis. RESOLVA OS EXEMPLOS. 01-Resolver a equação 02- Quantos triângulos distintos podem obter através dos pontos inseridos nas retas r //s, conforme a figura abaixo. 03- Quantos triângulos distintos podemos traçar tendo como vértice os pontos da circunferência abaixo. 04- Aplicando o conceito de combinação simples, encontrar a expressão que permite o cálculo de diagonais de um polígono regular de n lados. 05- (Fatec-SP) Há 12 inscritos em um campeonato de boxe. O numero total de lutas que podem ser realizadas entre os inscritos é: a-( ) 12 b-( ) 24 c-( ) 33 d-( )66 e-( )132 06-Quantas comissões de 5 membros podemos formar numa assembleia de 12 participantes?

QUESTÕES DE VESTIBULARES 1-(UFAL-AL) Se o numero natural K é solução da equação, então o valor de k -1 é: a-( ) 0,5 b-( ) 0,25 c-( ) 0,18 d-( ) 0,1 e-( ) 10 2-(FMABC SP) Simplificando a sentença obtemos: a-( ) 101103 b-( ) 100000 c-( ) 102! d-( ) 101! E-( ) 10403 3-(FDBEF-DF) Sendo e tendo em vista que m>0, o valor de m é: a-( ) 6 b-( ) 8 c-( ) 10 d-( ) 12 e-( ) n.d.a 4- (U.F Uberlândia) Uma valor de m que satisfaz a equação é: a-( ) 10 b-( ) 6 c-( ) 8 d-( ) 4 e-( ) 5 5-(F.C.Chagas BA) Se o número de combinações de m elementos, tomados de dois a dois, é igual a 15, então o valor da expressão ( m 1 )! A m+1, 2 é: a-( ) 81 b-( ) 78 c-( ) 12 d-( ) 9 e-( ) 6 6-(FEI-SP) Se então: a-( ) n=3 b-( ) n=4 c-( ) n=5 d-( ) n=6 e-( ) n=7 7-(FURRN) Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6 são formados números naturais inteiros de quatro algarismos distintos. Dentre eles, a quantidade de números divisíveis por 5 é: a-( ) 20 b-( ) 30 c-( ) 60 d-( ) 120 e-( ) 180 8- (Mack SP) Se uma sala tem 8 portas, então o numero de maneiras distintas de se entrar nela e sair da mesma por uma porta diferente é: a-( ) 8 b-( ) 16 c-( ) 40 d-( ) 48 e-( ) 56 9- (FGV-SP) As placas de automóveis são constituída de duas letras seguidas de quatro algarismos. Quantas placas diferentes podem ser formadas usando-se vogais do alfabeto e os algarismos pares. a-( ) 400 b-( ) 31250 c-( ) 7812 d-( ) 15625 e-( ) n.d.a 10-(FGV-SP) Numa classe de 10 estudantes, um grupo de 4 será selecionado para uma excursão. De quantas maneiras o grupo poderá ser formado se dois das dez são marido e mulher e só irão juntos? a-( ) 126 b-( ) 115 c-( ) 28 d-( ) 165 e-( ) 122 11- Tem-se 12 livros, todos diferentes, sendo 5 de matemática, 4 de física e 3 de química. De quantos modos podemos dispô-los sobre uma prateleira, devendo os livros de cada assunto permanecer juntos? a-( ) 103680 b-( )17280 c-( ) 150 d-( ) 12 e-( ) 6 12- (CONVESU) O número de anagramas que podemos formar com a palavra VESTIBULAR, de modo que as 3 letras VES, nesta ordem, permaneçam juntas é: a-( ) 241920 b-( ) 40320 c-( ) 5040 d-( ) 120960 e-( ) 80640 13- (F.C.Chagas-BA) Considerem-se todos os anagramas da palavra MORENA. Quantos deles têm as vogais juntas?