Exercicios de logaritmos com raiz quadrada

No quarto número do Exercícios Resolvidos vamos colocar em prática a teoria apresentada no artigo sobre Logaritmo, o qual, sugiro, você deve consultar em caso de dúvidas, uma vez que serão apenas mencionadas as propriedades ali abordadas.

Exercício 1: Se logaba = 4, calcule:

Solução:

Reescrevendo a expressão com o uso das propriedades dos logaritmos indicadas abaixo do sinal de igualdade, temos que:

Por outro lado, da condição inicial do exercício e da definição de logaritmo vem:

logaba = 4 => a = (ab)4 => a = a4b4 => b4 = 1/a3 => b = (1/a3)1/4 = 1/a3/4

Observe que acima foi considerado, apenas, o valor real de b maior do que zero na extração da raiz de índice 4 (condição de existência do logaritmo)

Substituindo o valor de b em logabb na expressão [1]:

Exercício 2: Se a, b e c são reais positivos com a diferente de 1 e ac diferente de 1, prove que:

logab = logacb(1 + logac)

Solução:

Note que a expressão do lado direito da igualdade possui um logaritmo na base ac. Assim, nada mais natural do que efetuarmos, incialmente, a mudança para essa base (L4) na expressão do lado esquerdo da igualdade. Assim:

Por raciocínio semelhante ao anterior, fazendo a mudança de base no denominador da fração para a base a, obtemos:

E, substituindo [2] em [1]:

Exercício 3: Se a e b são raízes da equação x2 – px + q = 0 (p, q > 0 e q diferente de 1), demonstre que:

logqaa + logqbb + logqab + logqba = p

Solução:

Aplicando a propriedade L3 ao primeiro membro da igualdade (definimos como A) vem:

A = alogqa + blogqb + blogqa + alogqb

Colocando os termos comuns em evidência:

A = (a + b)logqa + (a + b) logqb => A = (a + b)( logqa + logqb)

E, pela propriedade L1:

A = (a + b) logqab [1]

Como todos vocês sabem (espero) que em uma equação do segundo grau mx2 + nx + k = 0 a soma e o produto de suas raízes valem, respectivamente:

S = -n/m e P = k/m

vem, pelas condições iniciais do exercício, que:

a + b = p e a.b = q

Substituindo esses valores em [1]:

A = plogqq = p

Exercício 4: Se a, b e c são as medidas dos lados de um triângulo retângulo de hipotenusa de medida a e sabendo que a – b e a + b são diferentes de 1, demonstre que:

loga+bc + loga-bc = 2loga+bc.loga-bc

Solução:

Como o triângulo é retângulo, pelo Teorema de Pitágoras:

Efetuando a mudança de base (de a + b para a – b) da primeira parcela:

E substituindo no primeiro membro da igualdade a ser demonstrada:

E, por fim, de [1] e [2] vem que:

Exercício 5: Demonstrar que:

Solução:

A demonstração é consequência da propriedade L4 (mudança de base):

O exercício foi incluído, apesar de simples, por não ter sido tratado nas consequências da propriedade L4 do artigo sobre Logaritmo.

Exercício 6: Se a, b e c são reais positivos e diferentes de um e a = b.c, prove que:

Solução:

Pela propriedade L4 (mudança de base) temos:

Da condição inicial, aplicando-se o logaritmo na base b, obtemos:

logba = logbbc = logbb + logbc = 1 + logbc [2]

Substituindo [2] em [1]:

Referência:

1. Fundamentos de Matemática Elementar, Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce & Carlos Murakami, São Paulo, Atual Editora Ltda, edição 1977.

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por _Liilo » Ter Nov 02, 2010 16:11

Boa tarde, no livro que utilizo há duas questão com esse cálculo e não consigo entender.

>> Qual é a base de um sistema logaritmico, onde o lagaritmo é

e o antilogaritmo é ?

Sei que a base sera meio porque nos próximos exercícios aparece o seguinte:>> Calcule o valor de "x", e modo que se tenha

Ambos exercícios eu sei o gabarito, mas não sei como chegar na resposta fazendo o exercício.

De qualquer modo, grata.

_Liilo Novo Usuário
  Mensagens: 5Registrado em: Dom Out 31, 2010 18:23 Formação Escolar: ENSINO MÉDIO PROFISSIONALIZANTE Área/Curso: técnico em webdesign Andamento: formado

por girl » Ter Nov 02, 2010 17:14

para resolver o

voce tem elevar a a e igualar a x

espero ter te ajudado.

girl Usuário Ativo
  Mensagens: 23Registrado em: Dom Out 24, 2010 10:55 Formação Escolar: PÓS-GRADUAÇÃO Área/Curso: matematica Andamento: cursando

por _Liilo » Ter Nov 02, 2010 18:21

oi girl,

não compreendo por que a raiz fica só no demoninador (

)

depois disso acho que vc racionaliza...Continuo sem entender. Por favor, podes detalhar mais, explicar o porquê da raiz de 2 ter ido como denominador.

Obrigada.

_Liilo Novo Usuário
  Mensagens: 5Registrado em: Dom Out 31, 2010 18:23 Formação Escolar: ENSINO MÉDIO PROFISSIONALIZANTE Área/Curso: técnico em webdesign Andamento: formado

por girl » Ter Nov 02, 2010 19:02

a raiz fica so no denominador por que a raiz quadrda de 1 é 1 e depois eu fiz a racionalização nos denominadores .

girl Usuário Ativo
  Mensagens: 23Registrado em: Dom Out 24, 2010 10:55 Formação Escolar: PÓS-GRADUAÇÃO Área/Curso: matematica Andamento: cursando

por girl » Ter Nov 02, 2010 19:13

uma regra da potenciação é que quando vc tem um numero elevado a um expoente expresso por uma fração voce o transforma em radical.por exemplo

o numerador da fração se torna o expoente do numero 2 e o denominador se torna o indice da raiz

um outro exemplo:

girl Usuário Ativo
  Mensagens: 23Registrado em: Dom Out 24, 2010 10:55 Formação Escolar: PÓS-GRADUAÇÃO Área/Curso: matematica Andamento: cursando

por _Liilo » Ter Nov 02, 2010 19:39

Agora entendi \o/
Muito obrigada, girl

_Liilo Novo Usuário
  Mensagens: 5Registrado em: Dom Out 31, 2010 18:23 Formação Escolar: ENSINO MÉDIO PROFISSIONALIZANTE Área/Curso: técnico em webdesign Andamento: formado

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• derive a função: com essa mistura de raiz e frações
  por SILMARAKNETSCH » Qua Nov 14, 2012 18:08 3 Respostas 1911 Exibições

  Última mensagem por SILMARAKNETSCH Qui Nov 15, 2012 08:07

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  por Leocondeuba » Sáb Mai 11, 2013 19:27 2 Respostas 6324 Exibições

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• Limite - como resolver um lim quando temos raiz^2 e raiz^3.
  por Monica santos » Sex Ago 16, 2013 14:22 4 Respostas 3030 Exibições
• [Limites] Como resolver raiz dentro de raiz ?
  por natyncb » Qui Abr 12, 2012 00:31 10 Respostas 11156 Exibições

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Assunto: função demanda

Autor: ssousa3 - Dom Abr 03, 2011 20:55 alguém poderia me ajudar nesse exercício aqui Uma loja de CDs adquire cada unidade por R$20,00 e a revende por R$30,00. Nestas condições, a quantidade mensal que consegue vender é 500 unidades. O proprietário estima que, reduzindo o preço para R$28,00, conseguirá vender 600 unidades por mês. a) Obtenha a função demanda, supondo ser linear Eu faço ensino médio mas compro apostilas de concursos para me preparar para mercado de trabalho e estudar sozinho não é fácil. Se alguém puder me ajudar aqui fico grato
Assunto: função demanda
Autor: ssousa3 - Seg Abr 04, 2011 14:30

Gente alguém por favor me ensine a calcular a fórmula da função demanda

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