01. (Cesgranrio) - A distância entre os pontos M(4, -5) e N(-1, 7) do plano x0y vale:
a) 14.
b) 13.
c) 12.
d) 9.
e) 8.
02. (FEI-SP) - Num sistema de coordenadas cartesianas são dados os pontos A(0 , 0) e P(3 , h). Assinale a alternativa cuja expressão representa a distância do ponto P ao ponto A em função de h.
a) d = √(9+h²)
b) d = h + 3
c) d = 3h
d) d = √(9 + 6h + h²)
e) d = 9 + h
03. (CFSD/PM-PA) - Os pontos (2,3), (5,3) e (2,7) são vértices de um triângulo retângulo. A área desse triângulo é:
A) 5ua
B) 6ua
C) 7ua
D) 8ua
E) 9ua
04. (PUC) - O ponto B = (3, b) é equidistante dos pontos A = (6, 0) e C = (0, 6). Logo, o ponto B é:
a) (3, 1).
b) (3, 6).
c) (3, 3).
d) (3, 2).
e) (3, 0).
05. (UFRGS) - Se um ponto P do eixo das abcissas é equidistante dos pontos A(1, 4) e B(- 6, 3), a abscissa de P vale:
a) -2
b) -1
c) 0
d) 1
e) 3
06. (Uel) - Seja AB uma diagonal do quadrado ABCD. Se A = (-2, 3) e C = (0, 5), a área de ABCD, em unidades de área, é
a) 4
b) 4√2
c) 8
d) 8√2
e) 16
07. (UFRGS) - A distância entre os pontos A (-2, y) e B (6, 7) é 10. O valor de y é:
a) -1
b) 0
c) 1 ou 13
d) -1 ou 10
e) 2 ou 12
08. (Cesgranrio) - A área do triângulo, cujo vértices são (1,2), (3,4) e (4,-1), é igual a:
a) 6. b) 8. c) 9. d) 10. e) 12.
09. (ENEM) - Nos últimos anos, a televisão tem passado por uma verdadeira revolução, em termos de qualidade de imagem, som e interatividade com o telespectador. Essa transformação se deve à conversão do sinal analógico para o sinal digital. Entretanto, muitas cidades ainda não contam com essa nova tecnologia. Buscando levar esses benefícios a três cidades, uma emissora de televisão pretende construir uma nova torre de transmissão, que envie sinal às antenas A, B e C, já existentes nessas cidades. As localizações das antenas estão representadas no plano cartesiano:
10. (Puccamp) - Sabe-se que os pontos A = (0; 0), B = (1; 4) e C = (3; 6) são vértices consecutivos do paralelogramo ABCD. Nessas condições, o comprimento da BD é:
a) √2 b) √3 c) 2√2 d) √5 e) 511. (FGV) - No plano cartesiano, o triângulo de vértices A(1, -2), B(m, 4) e C(0, 6) é retângulo em A. O valor de m é igual a:
a) 47 b) 48 c) 49 d) 50 e) 5112. (Unesp) - O triângulo PQR, no plano cartesiano, de vértices P = (0, 0), Q = (6, 0) e R = (3, 5), é
a) equilátero. b) isósceles, mas não equilátero. c) escaleno. d) retângulo. e) obtusângulo.13. (ENEM) - Um bairro de uma cidade foi planejado em uma região plana, com ruas paralelas e perpendiculares, delimitando quadras de mesmo tamanho. No plano de coordenadas cartesianas seguinte, esse bairro localiza-se no segundo quadrante, e as distâncias nos eixos são dadas em quilômetros.
14. (UFF) - A palavra “perímetro” vem da combinação de dois elementos gregos: o primeiro, perí, significa “em torno de”, e o segundo, metron, significa “medida”. O perímetro do trapézio cujos vértices têm coordenadas (−1, 0), (9, 0), (8, 5) e (1, 5) é:
a) 10 + √29 + √26 b) 16 + √29 + √26 c) 22 + √26 d) 17 + 2√26 e) 17 + √29 + √2615. (UEA) - Em um mesmo sistema de eixos cartesianos ortogonais, as representações gráficas das funções reais f(x) = x² – 2x – 3 e g(x) = – x² + 4x – 5 são parábolas. A distância entre os seus vértices é igual a:
a) 3√2 b) √26 c) √10 d) 2√3 e) 2√1016. (PUC-RJ) - Sabendo que o ponto B = (3,b) é equidistante dos pontos A = (6,0) e C = (0,6), então b vale:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 517. (PUC-RJ) - Se os pontos A = (-1, 0), B = (1, 0) e C = (x, y) são vértices de um triângulo equilátero, então a distância entre A e C é:
a) 1 b) 2 c) 4 d) √2 e) √318. (UFMG) - Seja Q (-1, a) um ponto do 3º quadrante.O valor de a, para que a distância do ponto P (a,1) ao ponto Q seja igual a 2, é:
19. (ITA - SP) - Três pontos de coordenadas,respectivamente, (0, 0), (b, 2b) e (5b, 0), com b > 0, são vértices de um retângulo. As coordenadas do quarto vértice são dadas por:
a) (- b, - b) b) (2b, - b) c) (4b, - 2b) d) (3b, - 2b) e) (2b, - 2b)20. (PUC - SP) - Dados A(4, 5), B(1, 1) e C(x, 4), o valor de x para que o triângulo ABC seja retângulo em B é:
a) 3 b) 2 c) 0 d) - 3 e) - 2Mais exercícios sobre distância entre dois pontos
➥ Gabarito
01 | 02 | 03 | 04 | 05 | 06 | 07 | 08 | 09 | 10 |
B | A | B | C | A | A | C | A | E | D |
11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
C | B | B | E | C | C | B | E | C | D |
Rafael Asth
Professor de Matemática e Física
Na Geometria Analítica, o cálculo da distância entre dois pontos permite encontrar a medida do segmento de reta que os une.
Utilize as questões a seguir para testar seus conhecimentos e tire suas dúvidas com as resoluções comentadas.
Questão 1
Qual a distância entre dois pontos que possuem as coordenadas P (–4,4) e Q (3,4)?
Resposta correta: dPQ = 7.
Observe que as ordenadas (y) dos pontos são iguais, logo, o segmento de reta formado é paralelo ao eixo x. A distância então é dada pelo módulo da diferença entre as abscissas.
Substituindo as abscissas dos pontos na fórmula, temos
Veja a representação dos pontos no plano cartesiano.
dPQ = 7 u.c. (unidades de medida de comprimento).
Determine a distância entre os pontos R (2,4) e T (2,2).
Resposta correta: dRT = 2.
As abscissas (x) das coordenadas são iguais, sendo assim, o segmento de reta formado está paralelo ao eixo y e a distância é dada pela diferença entre as ordenadas.
Substituindo as ordenadas na fórmula, temos
Observe a representação dos pontos no plano cartesiano.
dRT = 2 u.c. (unidades de medida de comprimento).
Veja também: Distância entre dois pontos
Questão 3
Sejam D (2,1) e C (5,3) dois pontos no plano cartesiano, qual a distância de DC?
Resposta correta: dDC =
Observe no plano cartesiano que o segmento de reta formado não está paralelo a nenhum eixo.
Sendo e
Substituindo as coordenadas na fórmula, encontramos a distância entre os pontos da seguinte forma:
A distância entre os pontos é de dDC = u.c. (unidades de medida de comprimento).
Questão 4
O triângulo ABC possui as coordenadas A (2, 2), B (–4, –6) e C (4,–12). Qual o perímetro desse triângulo?
Resposta correta:
1º passo: Calcular a distância entre os pontos A e B.
2º passo: Calcular a distância entre os pontos A e C.
3º passo: Calcular a distância entre os pontos B e C.
Podemos observar que o triângulo tem dois lados iguais dAB = dBC, sendo assim, o triângulo é isósceles e seu perímetro é:
Questão 5
Um móvel percorre a trajetória A→B→C.
Estando as medidas expressas em metros e, considerando o ponto A como a origem do sistema cartesiano, a distância percorrida pelo móvel é:
A distância percorrida pelo móvel é, aproximadamente 8,60 m.
Aproximando a raiz quadrada de 13 para 3,60:
Questão 6
Em uma corrida de aventura através de uma floresta é necessário encontrar a localização de alguns pontos específicos por onde a equipe deve passar e registrar seu tempo. Na próxima etapa as equipes devem passar pelo ponto de localização P(5, c).
Além do mapa, as equipes receberam a informação de que o ponto P é equidistante da largada L(3, 6) e da chegada C(9, 4).
Com base nas informações, a ordenada c do ponto P é:
Resposta correta: c = 1.
Como o ponto P é equidistante da posição da largada e da chegada, é verdadeiro que:
Elevando os dois membros ao quadrado, eliminamos as raízes.
Questão 7
(UFRGS) A distância entre os pontos A (-2, y) e B (6, 7) é 10. O valor de y é:
a) -1 b) 0 c) 1 ou 13 d) -1 ou 10
e) 2 ou 12
Alternativa correta: c) 1 ou 13.
1º passo: Substituir os valores das coordenadas e da distância na fórmula.
2º passo: Eliminar a raiz elevando os dois termos ao quadrado e encontrar a equação que determina o y.
3º passo: Aplicar a fórmula de Bhaskara e encontrar as raízes da equação.
Para que a distância entre os pontos seja igual a 10, o valor de y deve ser 1 ou 13.
Questão 8
(UFES) Sendo A (3, 1), B (–2, 2) e C (4, –4) os vértices de um triângulo, ele é:
a) equilátero. b) retângulo e isósceles. c) isósceles e não retângulo. d) retângulo e não isósceles.
e) n.d.a.
Alternativa correta: c) isósceles e não retângulo.
1º passo: Calcular a distância de AB.
2º passo: Calcular a distância de AC.
3º passo: Calcular a distância de BC.
4º passo: Julgar as alternativas.
a) ERRADA. Para um triângulo ser equilátero os três lados devem ter a mesma medida, mas o triângulo ABC tem um dos lados diferente.
b) ERRADA. O triângulo ABC não é retângulo pois não obedece ao Teorema de Pitágoras: o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos catetos ao quadrado.
c) CORRETA. O triângulo ABC é isósceles, pois possui as medidas de dois lados iguais.
d) ERRADA. O triângulo ABC não é retângulo, mas é isósceles.
e) ERRADA. O triângulo ABC é isósceles.
Questão 9
(PUC-RJ) Se os pontos A = (–1, 0), B = (1, 0) e C = (x, y) são vértices de um triângulo equilátero, então a distância entre A e C é
a) 1 b) 2 c) 4
d)
e)
Alternativa correta: b) 2.
Sendo os pontos A, B e C vértices de um triângulo equilátero, isso quer dizer que as distâncias entre os pontos são iguais, pois esse tipo de triângulo possui os três lados com a mesma medida.
Como os pontos A e B têm suas coordenadas, substituindo-as na fórmulas encontramos a distância.
Logo, dAB = dAC= 2.
Questão 10
(UFSC) Dados os pontos A (-1; -1), B (5; -7) e C (x; 2), determine x, sabendo que o ponto C é equidistante dos pontos A e B.
a) X = 8 b) X = 6 c) X = 15 d) X = 12
e) X = 7
Alternativa correta: a) X = 8.
1º passo: Montar a fórmula para calcular as distâncias.
Se A e B são equidistantes de C, quer dizer que os pontos encontram-se à mesma distância. Logo, dAC = dBC e a fórmula para calcular é:
Anulando-se as raízes dos dois lados, temos:
2º passo: Resolver os produtos notáveis.
3º passo: Substituir os termos na fórmula e resolvê-la.
Para que o ponto C seja equidistante dos pontos A e B, o valor de x deve ser 8.
(Uel) Seja AC uma diagonal do quadrado ABCD. Se A = (-2, 3) e C = (0, 5), a área de ABCD, em unidades de área, é
a) 4 b) 4√2 c) 8 d) 8√2
e) 16
Alternativa correta: a) 4.
1º passo: calcular a distância entre os pontos A e C.
2º passo: Aplicar o Teorema de Pitágoras.
Se a figura é um quadrado e o segmento de reta AC é sua diagonal, então quer dizer que o quadrado foi dividido em dois triângulos retângulos, com um ângulo interno de 90º.
Segundo o Teorema de Pitágoras, a soma do quadrado dos catetos equivale ao quadrado da hipotenusa.
3º passo: Calcular a área do quadrado.
Substituindo o valor do lado na fórmula da área do quadrado, temos:
Questão 12
(CESGRANRIO) A distância entre os pontos M (4,-5) e N (-1,7) do plano x0y vale:
a) 14 b) 13 c) 12 d) 9
e) 8
Alternativa correta: b) 13.
Para calcular a distância entre os pontos M e N, basta substituir as coordenadas na fórmula.
Questão 13
(ETAM 2011) A distância do ponto (−1, −1) ao ponto (1, 1) é igual a:
a) 2√2; b) 3√2; c) 2√3;
d) 3√3.
Resposta correta: a) 2√2
Fazendo:
A(-1,-1)
B(1, 1)
Questão 14
(UFRR 2017) Sabendo-se que a distância entre os pontos A (4,y) e B (1,2) é igual a 5, os valores de y são:
a) 6 e - 2 b) 2 + 2i e 2 - 2i c) 2 + 2√3 e 2 - 3√3 d) 2 e 0
e) 4 + 2√6 e 4 - 2√6
Resposta correta: a) 6 e - 2
Para extrair a raiz, elevamos ambos os membros da equação ao quadrado.
Determinando o delta da equação do segundo grau:
Determinando as raízes da equação:
Desta forma, os valores 6 e -2 satisfazem y.
Veja também: