PiR2 :: Matemática :: Probabilidades, Estatística e Análise Combinatória
20. Determine quantos são os anagramas das palavras:
e) ARARAQUARA que começam e terminam com A.DANTE, Luiz Roberto; Matemática: contexto & aplicações. 2.ed. São Paulo: Ática, 2013. p.248.
GABARITO: e) 1120
DÚVIDA: Pelo que entendi, a resolução da questão exclui da fórmula os dois As que estão no início e no fim dos anagramas, mas por quê?
[latex]\frac{8!}{3!3!}[/latex]
Resolução do gabarito
[latex]\frac{8!}{5!3!}[/latex]
Minha resolução
Os As iniciais e finais também não alteram o anagrama se permutados.
Lucas4lmeidaIniciante
Mensagens : 37
Data de inscrição : 21/05/2020
Pelo que entendi, a resolução da questão exclui da fórmula os dois As que estão no início e no fim dos anagramas, mas por quê?
começam e terminam com A
os a's do começo e no fim não sofrem permutação para que o anagrama comece e termine com A.
Lucius DracoJedi
Mensagens : 234
Data de inscrição : 29/05/2020
Idade : 24
Localização : Fortaleza, CE
Simplesmente porque se fixou a primeira e a última letra. Veja, o conjunto de anagramas totais é a permutação de 5 A's, 3 R's, 1 Q e 1 U.
Uma vez que se fixa a primeira letra A _ _ _ _ _ _ _ _ A, restam 3 A's, 3 R's, 1 Q e 1 U para permutar no espaço restante (8 casas restantes). Ou seja, permutar 8 elementos, 3 repetidos A e 3 repetidos R
O Lucius foi mais rápido que eu, mas pra n perder o que já escrevi, vou enviar do mesmo jeito : )
Xm280Recebeu o sabre de luz
Mensagens : 191
Data de inscrição : 28/04/2017
Idade : 23
Localização : Salvador - Bahia - Brasil
PiR2 :: Matemática :: Probabilidades, Estatística e Análise Combinatória
Permissões neste sub-fórum
Não podes responder a tópicos
Chama-se anagrama de uma palavra toda ordenação possível de suas letras, ainda que a “palavra” obtida não tenha sentido.
Para calcular o número de anagramas de uma palavra vamos utilizar o princípio multiplicativo e os conceitos de permutação simples e de permutação com repetição.
Princípio Fundamental da Contagem
O Princípio Fundamental da Contagem ou Princípio Multiplicativo, que é um método algébrico para determinar o número total de possibilidades.
Este método consiste em multiplicar o número de possibilidades de cada etapa do experimento.
Permutação simples e permutação com repetição
Permutação simples:
A permutação é um arranjo de ordem máxima, ou seja, faz uso de todos os elementos do conjunto (p=n).
Permutação com repetição:
Assim como na permutação simples, a diferença entre arranjo e permutação é que esta faz uso de todos os elementos do conjunto. Na permutação com repetição, a repetição de elementos são permitidas. Podemos estabelecer, entre o número de elementos n e as vezes que um mesmo elemento aparece, na fórmula.
Exemplos:
1) Para a palavra VESTIBULAR, determine:
a) o total de anagramas.
b) o número de anagramas que começam por vogais e terminam por consoantes.
Aplicando o princípio multiplicativo, obtemos:
c) Considerar que o grupo (EST) e as demais letras (V, I, B, U, L, A, R) permutam entre si. (EST será considerada apenas uma letra)
d) Nos 40.320 anagramas do item c, as letras E, S, T podem permutar entre si. Logo, teremos:
2) Quantos anagramas podemos escrever com a palavra ACREDITO , começados com a letra A?
3) Quantos anagramas podemos escrever com a palavra MATEMÁTICA?
A palavra MATEMÁTICA possui 10 letras no total, sendo 3 letras “A”, duas letras “T” e duas letras “M”.
4) Determine quantos anagramas podemos escrever com a palavra MISSISSIPPI.
5) Quantos anagramas da palavra ARARAQUARA começam e terminam com A?
Referências bibliográficas:
1. LIMA, Elon Lages; CARVALHO, Paulo C. P.; WAGNER, Eduardo; MORGADO, Augusto C. A Matemática do Ensino Médio. vol. 1. Coleção do Professor de Matemática, SBM, 2012.
2. CARAÇA, Bento de Jesus. Conceitos fundamentais de Matemática. Lisboa: Sá da Costa, 1989.
3. COLEÇÃO do Professor de Matemática. Sociedade Brasileira de Matemática (SBM). Vários autores. 12 volumes, 2006.
4. LIMA, Elon Lages et al. A Matemática do Ensino Médio. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática (SBM), 2006. 3v.
5. HAZAM, Samuel. Fundamentos de matemática elementar, 5: combinatória, probabilidade. – 8.ed. – São Paulo: Atual, 2013.