Determine o quinto termo de uma PG onde o primeiro termo e 3 e a razão e 7

Rafael Asth

Professor de Matemática e Física

A progressão aritmética – PA é uma sequência de valores que apresenta uma diferença constante entre números consecutivos.

A progressão geométrica – PG apresenta números com o mesmo quociente na divisão de dois termos consecutivos.

Enquanto na progressão aritmética os termos são obtidos somando a diferença comum ao antecessor, os termos de uma progressão geométrica são encontrados ao multiplicar a razão pelo último número da sequência, obtendo assim o termo sucessor.

Confira a seguir um resumo sobre os dois tipos de progressões.

Progressão aritmética (PA)

Uma progressão aritmética é uma sequência formada por termos que se diferenciam um do outro por um valor constante, que recebe o nome de razão, calculado por:

Onde,

r é a razão da PA;
a2 é o segundo termo;
a1 é o primeiro termo.

Sendo assim, os termos de uma progressão aritmética podem ser escritos da seguinte forma:

Note que em uma PA de n termos a fórmula do termo geral (an) da sequência é:

an = a1 + (n – 1) r

Alguns casos particulares são: uma PA de 3 termos é representada por (x - r, x, x + r) e uma PA de 5 termos tem seus componentes representados por (x - 2r, x - r, x, x + r, x + 2r).

Tipos de PA

De acordo com o valor da razão, as progressões aritméticas são classificadas em 3 tipos:

1. Constante: quando a razão for igual a zero e os termos da PA são iguais.

Exemplo: PA = (2, 2, 2, 2, 2, ...), onde r = 0

2. Crescente: quando a razão for maior que zero e um termo a partir do segundo é maior que o anterior;

Exemplo: PA = (2, 4, 6, 8, 10, ...), onde r = 2

3. Decrescente: quando a razão for menor que zero e um termo a partir do segundo é menor que o anterior.

Exemplo: PA = (4, 2, 0, - 2, - 4, ...), onde r = - 2

As progressões aritméticas ainda podem ser classificadas em finitas, quando possuem um determinado número de termos, e infinitas, ou seja, com infinitos termos.

Soma dos termos de uma PA

A soma dos termos de uma progressão aritmética é calculada pela fórmula:

Onde, n é o número de termos da sequência, a1 é o primeiro termo e an é o enésimo termo. A fórmula é útil para resolver questões em que é dado o primeiro e o último termo.

Quando um problema apresentar o primeiro termo e a razão da PA, você pode utilizar a fórmula:

Essas duas fórmulas são utilizadas para somar os termos de uma PA finita.

Termo médio da PA

Para determinar o termo médio ou central de uma PA com um número ímpar de termos calculamos a média aritmética com o primeiro e último termo (a1 e an):

Já o termo médio entre três números consecutivos de uma PA corresponde a média aritmética do antecessor e do sucessor.

Dada a PA (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14) determine a razão, o termo médio e a soma dos termos.

1. Razão da PA

2. Termo médio

3. Soma dos termos

Saiba mais sobre a progressão aritmética.

Progressão geométrica (PG)

Uma progressão geométrica é formada quando uma sequência tem um fator multiplicador resultado da divisão de dois termos consecutivos, chamada de razão comum, que é calculada por:

Onde,

q é a razão da PG;
a2 é o segundo termo;
a1 é o primeiro termo.

Uma progressão geométrica de n termos pode ser representada da seguinte forma:

Sendo a1 o primeiro termo, o termo geral da PG é calculado por a1.q(n-1).

Tipos de PG

De acordo com o valor da razão (q), podemos classificar as Progressões Geométricas em 4 tipos:

1. Crescente: com a razão q > 1 e termos positivos ou, 0

Exemplos: PG: (3, 9, 27, 81, ...), onde q = 3.

PG: (-90, -30, -15, -5, ...), onde q = 1/3

2. Decrescente: com a razão q > 1 e termos negativos ou, 0

Exemplo: PG: (-3, -9, -27, -81, ...), onde q = 3

PG: (90, 30, 15, 5, ...), onde q = 1/3

3. Oscilante: a razão é negativa (q

Exemplo: PG: (3, -6, 12, -24, 48, -96, …), onde q = - 2

4. Constante: a razão é sempre igual a 1 e os termos possuem o mesmo valor.

Exemplo: PG: (3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, ...), onde q = 1

Soma dos termos de uma PG

A soma dos termos de uma progressão geométrica é calculada pela fórmula:

Sendo a1 o primeiro termo, q a razão comum e n o número de termos.

Se a razão da PG for menor que 1, então utilizaremos a fórmula a seguir para determinar a soma dos termos.

Essas fórmulas são utilizadas para uma PG finita. Caso a soma pedida seja de uma PG infinita com 0

Termo médio da PG

Para determinar o termo médio ou central de uma PG com um número ímpar de termos calculamos a média geométrica com o primeiro e último termo (a1 e an):

Exemplo resolvido

Dada a PG (1, 3, 9, 27 e 81) determine a razão, o termo médio e a soma dos termos.

1. Razão da PG

2. Termo médio

3. Soma dos termos

Saiba mais sobre a progressão geométrica.

Resumo das fórmulas de PA e PG

	Progressão aritmética	Progressão geométrica
Razão
Termo geral
Termo médio
Soma finita
Soma infinita		com 0

Saiba mais sobre as sequências numéricas.

Exercícios sobre PA e PG

Questão 1

Qual o 16º termo da sequência que inicia com o número 3 e tem razão da PA igual a 4?

a) 36 b) 52 c) 44

d) 63

Qual a razão de uma PA de seis termos, cuja soma dos três primeiros números da sequência é igual a 12 e dos dois últimos é igual a – 34?

a) 7 b) – 6 c) – 5

d) 5

Questão 3

Se o terceiro termo de uma PG é 28 e o quarto termo é 56 quais são os 5 primeiros termos dessa progressão geométrica?

a) 6, 12, 28, 56, 104 b) 7, 18, 28, 56, 92 c) 5, 9, 28, 56, 119

d) 7, 14, 28, 56, 112

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