Uma das mais usuais raízes na radiciação é a raiz quadrada. É muito comum encontrá-la em exercícios, dos mais diversos conteúdos da matemática.
Podemos definir que a raiz quadrada de um número “n” é um número não negativo. Este número, por sua vez, quando multiplicado por si próprio, é igual a “n”.
\(\sqrt[2]{n}=a\) , com “n” e “a” \(\geq n=a^{2}\)
Na raiz acima, temos o radical \(\sqrt{ }\), o índice do radical (que no caso da raiz quadrada será sempre igual a 2) e o radicando (número “n”).
Quando nos deparamos com uma raiz quadrada, é comum observarmos que o índice 2 não é escrito na raiz. Isso se justifica porque ficou definido na matemática que quando se trata de uma raiz quadrada, não há a necessidade de indicar o índice 2.
Vamos ver alguns exemplos:
- \(\sqrt{4}=2\)
- \(\sqrt{9}=3\)
- \(\sqrt{16}=4\)
- \(\sqrt{25}=5\)
- \(\sqrt{36}=6\)
- \(\sqrt{49}=7\)
- \(\sqrt{64}=8\)
- \(\sqrt{81}=9\)
- \(\sqrt{100}=10\)
É importante ressaltar que, mesmo que os números negativos -2 e -3 satisfaçam as expressões \((-2)^{2}=4\) e \((-3)^{2}=9\), eles não devem ser admitidos como respostas válidas, a fim de que a concepção geométrica do símbolo radical não seja contrariada.
Neste sentido, a expressão \(\sqrt{25}=\pm 5\), por exemplo, está errada! O correto seria \(\sqrt{25}=5\). Note que esta situação é diferente de \(x^{2}=25\), pois nesse caso, temos uma equação quadrática, onde o “x” pode, sim, assumir tanto o valor de 5, quanto o valor de -5.
A raiz quadrada pode ser manipulada de algumas formas que podem nos ajudar a resolver determinados exercícios, vamos ver como isso funciona!
Atenção! As propriedades a seguir podem ser vistas com maiores detalhes no tópico de radiciação!
A raiz quadrada pode ser modificada das seguintes maneiras quando estamos tratando com divisão e multiplicação:
\(\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \qquad \sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}\)
Contudo, quando estamos operando com soma e subtração, note que as expressões a seguir são diferentes:
\(\sqrt{a+b}\neq \sqrt{a}+\sqrt{b} \qquad \sqrt{a-b}\neq \sqrt{a}-\sqrt{b}\)
Assim, é preciso tomar cuidado com as raízes, a fim de que não seja feito algum cálculo errado envolvendo elas.
Caso uma raiz quadrada esteja dentro de outra raiz quadrada, basta multiplicarmos o índice 2 das duas raízes para obtermos somente uma raiz:
\(\sqrt[2]{\sqrt[2]{a}}=\sqrt[2\cdot 2]{a}=\sqrt[4]{a}\)
Muitos exercícios demandam que o aluno saiba como transformar um valor em radiciação para potenciação. Vamos ver como se dá esse processo (não se preocupe, é bem fácil!).
\(\sqrt{x^{p}}=x^{\frac{p}{2}}\)
Tranquilo, né? Essa é a relação entre as duas operações matemáticas. Para ficar mais fácil de lembrar, pense que o número que está “fora” na raiz fica “dentro” na potência (neste caso, o 2) e o número que está “dentro” na raiz fica “fora” na potência (neste caso, o “p”).
Em muitas situações, você vai se deparar com uma raiz cujo resultado não é encontrado mentalmente e de forma fácil (como é o caso das raízes \(\sqrt{4}, \sqrt{9}, \sqrt{25}\) por exemplo). Dessa forma, é interessante saber calcular o valor da raiz quadrada a fim de que você consiga resolver completamente os exercícios.
Assim, o passo a passo do cálculo da raiz é:
1º passo: Dividir seu radicando somente por números primos até obter o número 1. Como exemplo, vamos usar \(\sqrt{400}\).
2º passo: Multiplicar de dois em dois os números de mesmo valor:
Obs. 1: Caso fosse raiz cúbica, multiplicar de três em três e assim por diante.
Obs. 2: Caso algum número primo “n” estivesse sozinho, ou seja, não fosse possível multiplicar ele com outro número de mesmo valor, adotar ele como raiz de “n”. Exemplo: \(\sqrt{10}\).
Muitos alunos se perguntam o porquê de aprender sobre radiciação e raízes quadradas, enquanto eles não sabem o quão importante é este instrumento.
As raízes são utilizadas nos mais diversos cálculos matemáticos, desde o Teorema de Pitágoras, passando pelas equações de segundo grau (com Bhaskara) até em problemas de engenharia, onde diversas fórmulas envolvem raízes.
Nesse sentido, prova-se a relevância desta operação. É importante lembrar que todo estudo tem alguma função e, com as raízes, não é diferente!
Exercício de fixação
UEMA
O valor da raiz quadrada \(\sqrt[2]{0,444...}\) é:
A raiz quadrada (√) de um número é determinada por um número real positivo elevado ao quadrado (x2). Já na raiz cúbica, o número é elevado ao cubo (y3).
Além disso, se a raiz for elevada a quarta potência (z4) é chamada de raiz quarta, e se for elevada a quinta potência (t5) é raiz quinta.
Como calcular a raiz quadrada?
Para saber a raiz quadrada de um número, podemos pensar que um número elevado ao quadrado será o resultado. Portanto, o conhecimento da tabuada e de potenciação são extremamente necessários.
No entanto, alguns números são difíceis por serem muito grandes. Nesse caso, utiliza-se o processo de fatoração, por meio da decomposição em números primos.
Quanto é a raiz quadrada de √2704?
Note que a potenciação é necessária, uma vez que depois de fatorar o número, no caso da raiz quadrada, reunimos os números primos em potências de 2. Isso significa em dividir os números em quadrados perfeitos.
No exemplo acima, temos
Portanto, a √2704 é 52.
Quando decompomos um número em fatores primos, podemos ter dois tipos de raiz quadrada:
- Raiz quadrada exata: seu resultado faz parte do conjunto dos números racionais, ou seja, podem ser números inteiros, decimais exatos e dízimas periódicas. Por exemplo: .
- Raiz quadrada não exata: seu resultado faz parte do conjunto dos números irracionais, ou seja, podem ser números decimais, infinitos e não-periódicos. Por exemplo:
Dizemos que um número é um quadrado perfeito quando ele é resultado da multiplicação de dois fatores iguais. Portanto, a raiz quadrada de um quadrado perfeito é uma raiz exata e resulta em um número natural.
Exemplos:
- 49 é o quadrado perfeito de 7, pois
- 144 é o quadrado perfeito de 12, pois
- 256 é o quadrado perfeito de 16, pois
Saiba mais sobre os números racionais e números irracionais.
Você sabia?
Com a invenção das calculadoras modernas, esse processo tornou-se mais fácil pelo fato de podermos calcular rapidamente a raiz quadrada por esse instrumento.
Exemplos
Raiz Quadrada de 2
√2 = 1.41421356237... (raiz quadrada não-exata)
√3 = 1.73205080757... (raiz quadrada não-exata)
Raiz Quadrada de 5
√5 = 2.2360679775... (raiz quadrada não-exata)
Raiz Quadrada de 8
√8 = 2.82842712475... (raiz quadrada não-exata)
Raiz Quadrada de 9
√9 = 3 (pois 32 é igual a 9)
Raiz Quadrada de 25
√25 = 5 (pois 52 é igual a 25)
Raiz Quadrada de 36
√36 = 6 (pois 62 é igual a 36)
Raiz Quadrada de 49
√49 = 7 (pois 72 é igual a 49)
Raiz Quadrada de 64
√64 = 8 (pois 82 é igual a 64)
Raiz Quadrada de 100
√100 = 10 (pois 102 é igual a 100)
Raiz Quadrada de 144
√144 = 12 (pois 122 é igual a 144)
Raiz Quadrada de 196
√196 = 14 (pois 142 é igual a 196)
Raiz Quadrada de 400
√400 = 20 (pois 202 é igual a 400)
Saiba mais sobre Quadrado Perfeito.
Exercícios resolvidos com raiz quadrada
Questão 1
(UFPI) Desenvolvendo a expressão (2√27 + 2√3 – 1)2 encontramos um número no formato a + b 2√3. Com a e b inteiros, o valor de a + b é:
a) 59 b) 47 c) 41 d) 57
e) 1
Alternativa correta: c) 41.
Para iniciar a resolução da questão, devemos fatorar o radicando 27.
3.3.3 = 33 = 3.32
Lembre-se: podemos remover um número de dentro da raiz quando seu expoente é igual ao índice do radical.
Como temos uma raiz quadrada, vamos substituir o número 27 do radicando por 3.32 para que um dos termos esteja com expoente 2 e, assim, possamos removê-lo da raiz.
Observe que o termo se repete na expressão. Portanto, podemos colocá-lo em evidência.
Agora, vamos resolver a expressão.
Sendo a = 49 e b = – 8, o valor de a + b é:
49 + (– 8) = 41
Portanto, a alternativa correta é c) 41.
(UTF - PR) Considere as seguintes expressões:
I.
II.
III.
É (são) verdadeira(s), somente:
a) I. b) II. c) III. d) I e II.
e) I e III.
Alternativa correta: b) II.
I. ERRADA. A resposta correta é .
II. CORRETA. O cálculo dessa expressão envolve a racionalização para retirar a raiz do denominador da fração.
III. ERRADA. A resposta correta é 4.
Questão 3
(UFRGS) A expressão
a) √2 + 3√3/4√2 b) 5√2 c) √3 d) 8√2
e) 1
Alternativa correta: e) 1.
1º passo: fatorar os radicandos e escrevê-los utilizando potências.
324 | 64 | 50 | 18 |
2º passo: podemos substituir os valores calculados pelos respectivos termos na expressão.
3º passo: simplificar a expressão.
De acordo com uma das propriedades dos radicais, quando o radicando possui expoente igual ao índice do radical, podemos removê-lo da raiz.
Efetuando essa operação na expressão, temos:
Outra propriedade nos mostra que se dividirmos o índice e o expoente pelo mesmo número, a raiz não se altera.
Portanto, simplificamos a expressão e chegamos ao resultado da alternativa "e", que é 1.
Veja também: Fatoração de Polinômios
Símbolo da Raiz Quadrada
O símbolo da raiz quadrada é chamado de radical: √x ou 2√x.
Já da raiz cúbica é 3√y, da raiz quarta é 4√z e da raiz quinta é 5√t.
Aprenda mais sobre esse assunto em