Como resolver raiz quadrada dentro de parênteses

No texto anterior (Resolvendo Expressões Numéricas – I), você viu que quando vamos resolver expressões numéricas, temos que seguir uma ordem para realizar os cálculos. Primeiro, nós devemos resolver as multiplicações e as divisões. Quando acabarem as divisões e as multiplicações, devemos resolver as adições e as subtrações. Quando aparecerem várias adições e subtrações, por onde começar? O ideal é que façamos os cálculos respeitando a ordem em que aparecerem. Mas e quando aparecem outros símbolos, como: (), [] e {}?

Esses símbolos são chamados de sinais de associação, vamos ver o nome de cada um deles:

() → Parênteses

[] → Colchetes

{} → Chaves

Assim como acontece com as operações, esses sinais de associação possuem uma ordem que deve ser respeitada. Primeiro, resolvemos os parênteses, quando acabarem os cálculos dentro dos parênteses, resolvemos os colchetes; e quando não houver mais o que calcular dentro dos colchetes, resolvemos as chaves.

Vejamos alguns exemplos:

{100 – 413 x (20 – 5 x 4) + 25} : 5Inicialmente devemos resolver os parênteses, mas como dentro dos parênteses há subtração e multiplicação, vamos resolver a multiplicação primeiro, em seguida, resolvemos a subtração.

{100 – 413 x (20 – 5 x 4) + 25} : 5

{100 – 413 x (20 – 20) + 25} : 5

{100 – 413 x 0 + 25} : 5

Agora que não temos mais os parênteses, vamos resolver as chaves. Dentro das chaves há subtração, multiplicação e adição, portanto, vamos resolver a multiplicação primeiro, em seguida resolvemos a subtração e a adição, seguindo a ordem em que aparecem.

{100 – 413 x 0 + 25} : 5

{100 – 0 + 25} : 5

{100 + 25} : 5

125 : 5

25

Portanto, o resultado da expressão {100 – 413 x (20 – 5 x 4) + 25} : 5 é 25.

Vamos resolver outra expressão:

27 + {14 + 3 x [100 : (18 – 4 x 2) + 7] } : 13

27 + {14 + 3 x [100 : (18 – 8) + 7] } : 13

27 + {14 + 3 x [100 : 10 + 7] } : 13

27 + {14 + 3 x [10 + 7] } : 13

27 + {14 + 3 x 17 } : 13

27 + {14 + 51} : 13

27 + 65 : 13

27 + 5

32

Então o resultado da expressão 27 + {14 + 3 x [100 : (18 – 4 x 2) + 7] } : 13 é 32.


Por Amanda Gonçalves
Graduada em Matemática

 

passo: resolvemos a radiciação. 2º passo: como multiplicação e divisão são de mesma prioridade, resolvemos primeiro a multiplicação, pois aparece antes da divisão. 3º passo: resolvemos a divisão. 4º passo: resolvemos a última operação, que é a subtração. → Potenciação e radiciação Em uma expressão numérica, sempre resolva primeiro as potências e raízes antes de qualquer outra operação matemática. A única exceção é para o caso em que aparecem colchetes, chaves ou parênteses. Vale ressaltar que, entre potências e raízes, não há prioridade. Da mesma forma que calculamos a raiz quadrada de um número natural positivo, podemos determinar a raiz de um número fracionário. Para isso, basta calcularmos a raiz do numerador e do denominador. Alguns resultados são obtidos com a fatoração dos números, os quais são agrupados como potência de expoente igual a 2. {} → Chaves Assim como acontece com as operações, esses sinais de associação possuem uma ordem que deve ser respeitada. Primeiro, resolvemos os parênteses, quando acabarem os cálculos dentro dos parênteses, resolvemos os colchetes; e quando não houver mais o que calcular dentro dos colchetes, resolvemos as chaves. Resolver expressões numéricas exige um cuidado, pois há uma prioridade na ordem das operações, começando pelos símbolos, resolvendo: primeiro, as operações que estão dentro do parêntese; depois, as operações que estão entre colchetes; por fim, as operações que estão entre chaves. As expressões numéricas devem ser resolvidas seguindo a seguinte ordem: resolver as operações no interior de parênteses, depois no interior de colchetes....Já a ordem de resolução das operações em si é a seguinte:

  • Primeiro, calcular raízes ou potências,
  • depois, multiplicações ou divisões.
  • e, por fim, adições e subtrações.
Poderíamos terminar logo: a ordem para realizar as operações é parênteses, potências, multiplicações e divisões e adição e subtração. As conjunções de ligação na sentença anterior estão bem posicionadas. "Multiplicações e divisões" e "adição e subtração" têm a mesma prioridade. Assim como acontece com as operações, esses sinais de associação possuem uma ordem que deve ser respeitada. Primeiro, resolvemos os parênteses, quando acabarem os cálculos dentro dos parênteses, resolvemos os colchetes; e quando não houver mais o que calcular dentro dos colchetes, resolvemos as chaves. As expressões numéricas devem ser resolvidas seguindo a seguinte ordem:
  1. resolver as operações no interior de parênteses,
  2. depois no interior de colchetes.
  3. e, por fim, no interior de chaves.

Conhecemos como expressões numéricas um conjunto de operações fundamentais a serem calculadas. São operações fundamentais:

  • adição
  • subtração
  • multiplicação
  • divisão
  • potenciação 
  • radiciação

Expressões numéricas são bastante comuns no dia a dia, pois, em muitos problemas, há a necessidade de se calcular o valor de uma expressão numérica. Além das operações, uma expressão numérica pode conter símbolos que mostram a ordem de prioridade, são eles:

  • parênteses ( )
  • colchetes [ ]
  • chaves { }

Leia também: Como identificar se um número é par ou ímpar? 

Ordem das operações

A expressão numérica é um conjunto de números e as operações fundamentais entre eles.

Na resolução de expressões numéricas, é bastante comum ter dúvida sobre qual operação devemos realizar primeiro, para isso, é necessário entender a ordem correta a ser seguida. Primeiramente sempre vamos começar por radiciação e potenciação. Caso apareçam essas duas operações ao mesmo tempo dentro de uma mesma expressão algébrica, calculamo-las na ordem em que aparecerem. 

Encontrando todas as potências e todos os radicais, as próximas operações em ordem de prioridade são a multiplicação e a divisão. Da mesma forma, operações com mesmo grau de prioridade são sempre calculadas na ordem em que aparecem, o que acontece com a multiplicação e a divisão.

Na ausência de multiplicação e divisão na expressão numérica, calculamos, então, a adição e a subtração dos termos. Caso exista as duas operações, calculamo-las na ordem em que aparecerem até encontrarmos um resultado final.

Exemplo:

5 + 2 · √9 – 4 : 2 – 1 + 3²

Primeiramente calcularemos a radiciação e a potenciação:

5 + 2 · √9 – 4 : 2 – 1 + 3²

5 + 2 · 3 – 4 : 2 – 1 + 9

Como não há mais nenhuma potenciação nem radiciação, calcularemos a multiplicação e a divisão:

5 + 2 · 3 – 4 : 2 – 1 + 9

5 + 6 – 2  – 1 + 9

Agora realizaremos as adições e subtrações na ordem em que elas parecem:

5 + 6 – 2 – 1 + 9

11 – 2 – 1 + 9

9  – 1 + 9

 8 + 9

17

Veja também: Critérios de divisibilidade – ferramentas utilizadas a fim de facilitar o cálculo de divisão

Uso dos símbolos nas expressões numéricas

Além das operações em si, é bastante comum também a utilização de símbolos para mostrar a ordem de prioridade em que devemos fazê-las. São eles os parênteses ( ), os colchetes [ ] e as chaves { }.

Nesse caso precisamos nos atentar, primeiro, à ordem de prioridade desses símbolos para, depois, atentar-nos à ordem de prioridade das operações que estão entre esses símbolos. Resolver expressões numéricas exige um cuidado, pois há uma prioridade na ordem das operações, começando pelos símbolos, resolvendo:

  • primeiro, as operações que estão dentro do parêntese;
  • depois, as operações que estão entre colchetes; 
  • por fim, as operações que estão entre chaves.

Operações que estão sendo realizadas entre parênteses, por exemplo, respeitam sempre a ordem das operações, então, ao resolver uma expressão numérica, buscamos eliminar os parênteses, depois os colchetes, e por fim as chaves, nessa ordem.

Passo a passo para resolver expressões numéricas

Exemplo:

{[2 + (5 + 4) : 3 – √4 + 9] : 4}²

Para calcular a expressão quando ela possui símbolos, começamos sempre resolvendo as operações que estão dentro do parêntese.

{[2 + (5 + 4) : 3 – √4 + 9] : 4}²

{[2 + 9 : 3 – √4 + 9] : 4}²

Agora que não há nenhuma operação entre parênteses, vamos buscar eliminar os colchetes. Dentro deles, é importante respeitar a ordem de prioridade das operações, começando, então, nesse caso, pela radiciação.

{[2 + 9 : 3 – √4 + 9] : 4}²

{[2 + 9 : 3 – 2 + 9] : 4}²

Ainda com o objetivo de eliminar o colchete, realizaremos agora a divisão, já que ela possui prioridade em relação à adição e subtração.

{[2 + 9 : 3 – 2 + 9] : 4}²

{[2 + 3 – 2 + 9] : 4}²

Para eliminar o colchete, calcularemos as adições e a subtração, na ordem em que essas operações aparecem.

{[2 + 3 – 2 + 9] : 4}²

{[5 – 2 + 9] : 4}²

{[3 + 9] : 4}²

{12 : 4}²

Agora que eliminamos o parêntese, por fim, vamos eliminar as chaves, e, para isso, vamos calcular a divisão:

{12 : 4}²

Por fim, só nos resta calcular a potência:

9

Exercícios resolvidos

Questão 1 – Qual é o resultado da expressão: 20 ÷ {√4 · [-9 + 17 ÷ (-2 + 5)]} – [7 · (-3) – 16 ÷ (-2) + 2]

A) 9 B) 10 C) 11 D) 12

E) 13

Resolução

Alternativa A

Primeiro vamos eliminar o parêntese:

20 ÷ {√4 · [-9 + 12 ÷ (-2 + 5)]} – [7 · (-3) – 16 ÷ (-2) + 2]

20 ÷ {√4 · [-9 + 12 ÷ (-2 + 5)]} – [7 · (-3) – 16 ÷ (-2) + 2]

20 ÷ {√4 · [-9 + 12 ÷ 3]} – [7 · (-3) – 16 ÷ (-2) + 2]

Agora eliminaremos os colchetes:

20 ÷ {√4 · [-9 + 12 ÷ 3]} – [7 · (-3) – 16 ÷ (-2) + 2]

20 ÷ {√4 · [-9 + 4]} – [7 · (-3) – 16 ÷ (-2) + 2]

20 ÷ {√4 · [-9 + 4]} – [7 · (-3) – 16 ÷ (-2) + 2]

20 ÷ {√4 · [-9 + 4]} – [-21 – 16 ÷ (-2) + 2]

20 ÷ {√4 · [-9 + 4]} – [-21 – 16 ÷ (-2) + 2]

20 ÷ {√4 · [-9 + 4]} – [-21 + 8 + 2]

20 ÷ {√4 · [-9 + 4]} – [-21 + 8 + 2]

20 ÷ {√4 · (-5)} – [-21 + 8 + 2]

20 ÷ {√4 · (-5)} – [-21 + 8 + 2]

20 ÷ {√4 · (-5)} – [-13 + 2]

20 ÷ {√4 · (-5)} – [-13 + 2]

20 ÷ {√4 · (-5)} – [-11]

20 ÷ {√4 · (-5)} + 11

Agora eliminaremos as chaves, respeitando a ordem de prioridade entre as operações:

20 ÷ {√4 ·(-5)} + 11

20 ÷ {2 · (-5)} + 11

20 ÷ {2 · (-5)} + 11

20 ÷ (-10) + 11

Eliminando todos os símbolos, realizaremos, primeiro, a divisão e, depois, a adição:

20 ÷ (-10) + 11

-2 + 11

9

Questão 2 – Analisando as expressões:

I. [8 : (8 × (-2) + 18)] – √16 II. [8 × (9 : 3 + 1)] + 2

III. {3² – [4 + (3 – 6 : 2)²]} – 5

As expressões que têm como resultado zero são:

A) I, II e III B) somente I e II C) somente I e III D) somente II e III

E) Nenhuma delas

Resolução

Alternativa C

Resolvendo cada uma delas, temos que:

I.

[8 : (8 × (-2) + 18)] – √16 [8 : (-16 + 18)] – √16 [8 : 2] – √16 4 – √16 4 – 4

0

II.

[8 × (9 : 3 + 1)] + 2 [8 × (3 + 1)] + 2 [8 × 4] + 2 32 + 2

34

III.

{3² – [4 + (3 – 6 : 2)²]} – 5 {3² – [4 + (3 – 3)²]} – 5 {3² – [4 + 0²]} – 5 {3² – [4 + 0]} – 5 {3² – 4} – 5 {9 – 4} – 5 5 – 5

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