Como resolver raiz quadra com subtraç

Assim como a adição, a subtração, a multiplicação, a divisão e a potenciação, as raízes também fazem parte das operações básicas da Matemática. Dessa forma, elas podem compor, por exemplo, expressões numéricas, fazer parte de fórmulas que ajudam na resolução das questões de Matemática ou de Física ou aparecerem isoladas.

Podemos falar que, apesar de esse tema não cair diretamente (dificilmente terá uma questão, por exemplo, perguntando qual é a raiz quadrada de 49), certamente o assunto será abordado, de alguma forma, nos principais exames do país. Em alguma situação, você até pode conseguir interpretar o problema, entender o conceito que está descrito nele, no entanto, pode travar no momento da resolução e, consequentemente, não chegar ao resultado esperado devido ao não conhecimento sobre a radiciação.

Viu como esse assunto é importante? Pensando nisso, neste post explicaremos detalhadamente o que é a radiciação, quais são as operações que podem ser feitas e destacaremos sobre as principais propriedades das raízes. Dessa forma, você nunca mais vai errar questões no Enem sobre o assunto. Acompanhe a seguir.

O que é radiciação?

A radiciação faz referência a uma operação que realizamos quando desejamos descobrir qual é o número que multiplicado por ele mesmo dá uma quantidade específica pela qual estamos procurando.

Essa explicação pode parecer um pouco confusa. Porém, para deixar isso mais claro, vamos a um exemplo prático. Imagine que desejamos descobrir qual é o número que multiplicado 3 dá 27.

Podemos descobrir que: 3 x 3 x 3 = 27. Dessa forma, o 3 é o número pelo qual estamos procurando. Dessa forma, podemos afirmar que a raiz terceira de 27 é igual a 3.

A partir desse exemplo, podemos perceber também que a radiciação é inversa à potenciação. Isso porque 3³=27 e ³√27=3. Da mesma maneira que a subtração é a operação inversa da adição, a radiciação é inversa da potenciação.

Qual é a representação da radiciação?

Agora, que você já sabe qual é a definição dessa operação matemática, vamos destacar como ela é representada. Nesse momento, utilizamos o símbolo √, que é denominado de radical. Vamos aproveitar o exemplo anterior para demonstrar como é feita a representação dessa operação:

³√27 = 3

Esses números representam quais elementos da operação? Não há muitos segredos em relação a isso. Eles exercem as seguinte funções:

  • o número 3 representa o índice da raiz;
  • o número 27 faz referência ao radicando;
  • o número 3, a igualdade do problema, representa a raiz.

Com esses dados, podemos ler que a raiz cúbica de 125 é igual a 5. Agora, só tenha atenção a um detalhe: quando o índice da raiz não aparece, quer dizer que ele equivale a dois. Para deixar isso mais claro, vamos ao seguinte exemplo:

√49 = 7

A raiz quadrada de 49 é igual a 7. Isso porque, 7² equivale a 7 x 7, que é igual a 49.

Quais são as operações com radicais?

Há diferentes operações que podem ser feitas com radicais. Por isso, detalharemos sobre elas na sequência do post. Continue lendo!

Soma e subtração

Para efetuar a adição e subtração, devemos identificar se os radicais são os mesmos. Eles devem apresentar, portanto, índice e radicando iguais. Quando isso acontece, devemos repetir o radical e somar ou subtrair os coeficientes.

Exemplo:

25√3 + 100√3 = 125√3

Multiplicação e divisão

Caso os radicais tenham o mesmo índice, vamos repetir a raiz e, na sequência, multiplicaremos ou dividiremos os radicandos. Exemplo:

³√7 x ³√5 = ³√35

Por outro lado, se os radicais apresentarem índices diferentes, primeiramente devemos reduzir ao mesmo índice. Na sequência, poderemos multiplicar ou dividir os radicandos. Exemplo:

³√6 x √3 = 3×2√6 1×2 . 2×3√31×3 = 6√36 . 6√27 = 6√972

Quais são as principais propriedades de radiciação?

Expressões numéricas

Não é bem uma propriedade, mas vale destacar porque esse assunto pode gerar equívocos por parte de muitos estudantes. Juntamente com a potenciação, a radiciação tem preferência em relação às outras operações nas expressões numéricas. Exemplo:

4 + 6 x 2 +√36 +5

Muitos tentariam fazer a soma de 4 + 6 primeiro. Porém, seriam induzidas. Isso porque, primeiramente é necessário tirar a raiz quadrada de 36. Ela equivale a 6. Na sequência, fazemos a multiplicação de 6×2, que é igual a 12. Dessa forma, teremos:

4 + 12 + 6 + 5 = 27

Racionalização de denominadores

Esse procedimento acontece porque a raiz não pode aparecer no denominador. O processo é simples. Vamos tirar a raiz nesse exemplo: 5√3.

5/√3 x √3/√3 = 5√3/3

Simplificação de radicais

Suponhamos que você queira simplificar a expressão ³√8. Basta pegarmos o número 8 e dividirmos por números primos. Chegaremos à seguinte conclusão: 8/2 = 4. Na sequência, poderemos pegar 4/2 = 2 e 2/2 = 1.

Perceba que multiplicamos o número 2 três vezes. Isso quer dizer que 2x2x2=8. Dessa maneira, podemos dizer que 2³ equivale a 8 e, também, podemos afirmar que ³√8 é igual a 2.

A radiciação é uma das operações fundamentais da Matemática e, por isso, é fundamental conhecê-la. Esse assunto não pode ser deixado de lado, pois ele ajudará a formar uma base sólida na disciplina.

Este post sobre a radiciação foi útil para você? Está interessado em aprofundar os seus estudos e ampliar os conhecimentos em Matemática? Conheça o nosso plano de estudos e veja como podemos ajudá-lo a alcançar a tão sonhada aprovação no Enem e nos principais vestibulares do país.

Racionalização de denominadores é uma técnica para tornar frações com denominadores irracionais em racionais.

As frações cujo denominador é uma raiz, podem ser transformadas em uma fração com denominador que não seja uma raiz, sem alterar o seu resultado.

Utilizamos a técnica de racionalização de denominadores para facilitar o cálculo, pois trabalhar com números irracionais é um pouco complicado. Além disso, números irracionais apresentam pouca precisão no resultado.

Multiplicaremos o numerador e denominador pelo mesmo número com a finalidade de eliminar a raiz do denominador. Esse processo transformará uma fração com denominador irracional em uma fração equivalente.

Racionalizando denominadores de uma fração

Para racionalizar denominadores precisamos eliminar o denominador irracional, faremos isso conhecendo alguns métodos do mais simples para os mais complexos.

Racionalizar uma fração com raiz quadrada no denominador é o caso mais simples.

Exemplo:

Considere a seguinte fração:

Como resolver raiz quadra com subtraç

Para racionalizar frações com denominadores que são raízes quadradas, devemos multiplicar toda a fração pela mesma raiz quadrada do denominador. Assim:

Como resolver raiz quadra com subtraç

Nesse caso, dizemos que √2 é o fator racionalizante da fração.

Conforme a propriedade de radiciação, eliminamos a raiz quadrada multiplicando a raiz por ela mesma, pois √2 . √2 = 2.

Exemplo:

Considere a seguinte fração:

Como resolver raiz quadra com subtraç

Da mesma forma, racionalizá-la é multiplicar toda a fração por √10, assim:

Como resolver raiz quadra com subtraç

Bom, como você já viu, caro leitor, racionalizar frações com raiz quadrada é extremamente simples. Vamos agora ver quando a fração não possui um denominador com uma raiz quadrada.

Para as frações cujos denominadores não são raízes quadradas, isto é, quando o índice não é 2, temos que seguir a seguinte regra:

Quando multiplicarmos uma fração com denominador:

Como resolver raiz quadra com subtraç

Devemos multiplicar o numerador e denominador da fração por:

Como resolver raiz quadra com subtraç

pois,

Como resolver raiz quadra com subtraç

Exemplo:

Considere a seguinte fração:

Como resolver raiz quadra com subtraç

Onde:

Nessa passo é importante saber as propriedades de radiciação.

Quando temos uma fração um denominador com uma soma ou subtração, o fator racionalizante é o seguinte:

  • √a – √b o fator racionalizante é √a + √b;
  • √a + √b o fator racionalizante é √a – √b;
  • √a + b o fator racionalizante é √a – b;
  • √a – b o fator racionalizante é √a + b;
  • a + √b o fator racionalizante é a – √b;
  • a – √b o fator racionalizante é a + √b;

Ou seja, quando temos uma soma ou subtração no denominador, o fator racionalizante é o mesmo denominador com a operação inversa. Se for uma soma trocamos o sinal para a subtração e vice-versa.

Exemplo:

Considere a seguinte fração:

Como resolver raiz quadra com subtraç

Racionalizar o denominador dessa fração é multiplicar o numerador e denominador por √3 – 2, assim:

Como resolver raiz quadra com subtraç

Se tivermos uma fração cujo denominador é uma soma ou subtração, sendo um dos dois uma raiz cúbica, devemos multiplicar o numerador e denominador obedecendo o seguinte:

  • Se for uma soma: a² – ab + b²;
  • Se for uma subtração: a² + ab + b².

Exemplo:

Considere a fração a seguir:

Como resolver raiz quadra com subtraç

Vamos racionalizá-la seguindo as regras acima, assim:

Como resolver raiz quadra com subtraç

Veja como multiplicamos o denominador fazendo a distributiva:

Como resolver raiz quadra com subtraç

Lembrando que 8 = 2³.

Lembrete:

  • a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²);
  • a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²).