Bacharel em Matemática (FMU-SP, 2018)
Mestre em Física Teórica (UNICSUL, 2020)
O conceito de raízes de equações é bem simples. Basicamente, é chamado de raiz de uma equação o valor que suas variáveis assumem de modo que essa equação seja válida perante a igualdade. O número de raízes de uma equação é dado pelo grau que ela possui. Vejamos abaixo alguns casos:
1) As equações do primeiro grau possuem uma única raiz:
Existe um valor de 𝑥 que deve satisfazer esta igualdade, logo ele é a única raiz desta equação.
Exemplo 1:
Neste caso, a raiz que satisfaz esta equação é 𝑥 = 5.
2) As equações quadráticas possuem duas raízes:
Podemos encontrar essas raízes pela famosa fórmula de Bháskara:
Exemplo 2:
Resolvendo, temos:
Também, de uma forma menos comum, é possível encontrar as raízes de uma equação do segundo grau pelo método de Girard (ou relações de Girard). Sejam 𝑥1 e 𝑥2 raízes de uma equação quadrática, temos a relação:
Exemplo 3: Vamos calcular o exemplo 2 novamente, mas usando as relações de Girard:
Resolvendo o sistema, temos que 𝑥1 = 3 e 𝑥2 = 2.
3) Equações do terceiro grau possuem três raízes:
Estas são 𝑥1, 𝑥2 e 𝑥3. Podemos encontrar estas raízes pelo método de Girard, mas agora ele terá uma nova raiz e, portanto, uma nova forma:
Note que nos três exemplos acima, 𝑎 necessariamente precisa ser diferente de zero.
Não devemos nos ater apenas aos exemplos acima para determinarmos oque é uma raiz de uma equação. Se uma equação possui solução (ou soluções) então essa (ou essas) é (são) a sua raiz (ou raízes).
Referências Bibliográficas:
GONÇALVES, Adilson. Introdução à Álgebra. Rio de Janeiro: IMPA, 1999.
MORGADO, A. C.; WAGNER, E.; JORGE, M. Álgebra I. São Paulo: Livraria Francisco Alves Editora S.A., 1974.
A equação irracional é construída a partir de problemas em que a medida desconhecida, a incógnita, é um dos termos do radicando.Para ilustrar, vamos imaginar a soma do número 2 com um número cujo valor é desconhecido e representado por "x". Se extrairmos a raiz quadrada do resultado dessa soma, obtendo o valor igual a 3, então, qual deverá ser o valor de x?
A tradução desse problema em uma sentença matemática conduz ao que é definido como equação irracional:
2 + x = 3
Essa equação exige que retomemos alguns procedimentos e conceitos já conhecidos. São os procedimentos que garantem a resolução de uma equação com segurança - e não é repetitivo lembrar que todas as operações que são aplicadas no primeiro membro de uma equação têm de ser aplicadas também no segundo.Assim, se elevarmos o segundo membro ao cubo temos de fazer o mesmo com o primeiro membro, a fim de que a igualdade da equação seja mantida, independente da operação que estivermos aplicando.Na equação irracional, a estratégia adotada é a de tentar eliminar o principal obstáculo da resolução - que, no caso, é o radical.Dessa forma, para o problema proposto no início desse texto, teríamos a seguinte pergunta: Como retirar a raiz quadrada que está sendo aplicada em x + 2?A potenciação é a operação inversa da radiciação - e o jogo das operações inversas será um dos recursos utilizados.Se elevarmos o número sete ao cubo, para logo depois extrairmos a raiz cúbica, obteremos novamente como resultado o valor igual a sete. Elevar ao cubo, ou à terceira potência, é uma operação inversa da raiz cúbica. As duas operações aplicadas, simultaneamente, a uma mesma quantidade, como foi o caso do número sete, não alteram o valor dessa quantidade.
Agora, imagine a situação de extrair a raiz quadrada de 2 + x e depois elevar o resultado ao quadrado. Essas duas operações - de elevar ao quadrado e de extrair a raiz quadrada - se cancelarão, dando como resultado o 2 + x. Esse é o caminho ou a estratégia para diluir o radical do primeiro membro do nosso exemplo:
( 2 + x ) 2 = 2 + xA partir dessa iniciativa, temos que nos preocupar em aplicar a mesma operação no segundo membro, para que a igualdade da equação não fique comprometida. Portanto, elevamos ao quadrado, simultaneamente, os dois membros da equação:
| 2 + x 2 = 3 2 ⇒ 2 + x = 9 |
Feito isso, teremos como consequência o surgimento das equações (tanto do primeiro como do segundo grau). No nosso caso, as manobras matemáticas produziram uma simples equação do primeiro grau, descrita como 2 + x = 9.
A resolução final, em que obtemos
Na resolução da nossa equação, a verificação de x = 7 é confirmada, já que o sete, somado ao dois, é igual a nove, e a raiz quadrada de 9 é 3:
| 2 + x = 3 |
| x = 7 ⇒ 2 + 7 = 3 ⇒ 9 = 3 |
Para assimilar melhor os procedimentos para a resolução desse tipo de equação, vamos explorar um outro exemplo, imaginando uma incógnita sendo subtraída em três unidades, dando como resultado a raiz quadrada do quádruplo dessa incógnita:
| x - 3 = 4 x |
| x - 3 2 = 4 x 2 |
| x 2 - 6 x + 9 = 4 x ⇒ x 2 - 1 0 x + 9 = 0 |
O procedimento de retirar o radical da equação conduz, neste caso, a uma equação do segundo grau, com uma resolução em que os valores de x são iguais a 9 e a 1. Fazemos a verificação para concluir a resposta final do problema:
| 1 ) x = 9 ⇒ 9 - 3 = 4 . 9 ⇒ 6 = 3 6 |
| 2 ) x = 1 ⇒ 1 - 3 = 4 . 1 ⇒ - 2 = 4 |
O valor de x igual a 9 é possível, pois, com esse valor, a igualdade da equação é testada sem contradição com as regras do conteúdo. Já com x = 1 isso não ocorre, pois a expressão propõe que a raiz quadrada de 4 seja igual a - 2, mostrando um resultado inviável e impossível para o conjunto dos números reais.Assim, temos como solução final para esse problema o 9 - o único valor possível para x.
A equação irracional é somente mais um tipo de equação - e exige que estejamos atentos às propriedades da potenciação e da radiciação, lembrando que estudar as equações, na verdade, é estudar as regras que possibilitam a igualdade de cada uma delas. Condição esta sempre proposta pelos problemas.