No colégio, principalmente durante o ensino fundamental, é comum que os jovens aprendam a raiz quadrada. Considerada muito complicada por muitos e fácil por outros, ela é utilizada sempre nas contas matemáticas.
A raiz quadrada de um número é sempre um número real e positivo, que se eleva ao quadrado. Enquanto na raiz cúbica, ele é elevado ao cubo. No caso de ela ser elevada à quarta potência, será chamada de raiz quarta, assim como raiz quinta, e respectivamente.
Como fazer?
Na hora de calcular uma raiz quadrada, você precisa pensar que um número, quando elevado ao quadrado, é o resultado – por isso é tão importante conhecer a tabuada e as contas.
Porém, há casos em que os números poderão complicar, isso porque são grandes demais. Nesse caso, é indicado usar o processo de fatoração, decompondo por números primos. Por exemplo, veja a raiz quadrada de 2704, abaixo:
O ato da potencialização é necessário, uma vez que depois de fatorado, como o caso da raiz quadrada, você reunirá os números primos a cada potência de dois, ou seja, dividirá esses números entre quadrados perfeitos.
Conforme o exemplo acima, você terá:
Ao final, 52 é a raiz quadrada de 2704.
Ao decompor o número em fatores primos, você poderá ter dois tipos de raiz quadrada:
- Raiz quadrada exata: em casos de um número inteiro fatorado, sendo o quadrado perfeito, resultando em outro número inteiro, por exemplo, a raiz quadrada de 4 é 2;
- Raiz quadrada não exata: em casos em que o número inteiro, fatorado, não é considerado um quadrado perfeito, gerando um novo número decimal ou uma raiz quadrada que não é perfeita, como o caso √147 = 7√3.
A distância entre dois pontos no plano cartesiano é fundamental para compreendermos várias outras fórmulas da geometria analítica, a área da Matemática que analisa objetos geométricos no plano cartesiano, possibilitando estudar e desenvolver equações para tratar de forma algébrica os elementos geométricos.
Conhecemos como distância entre dois pontos A e B o comprimento do segmento de reta que liga esses dois pontos. Para calcular o comprimento desse segmento de reta, utilizamos uma fórmula deduzida do teorema de Pitágoras. Dados os pontos A(xA, yA) e B (xB, Yb), para calcular a distância entre esses dois pontos, utilizamos a fórmula dAB² = (xB – xA)² + (yB – yA)².
Leia também: Qual é a equação geral da circunferência?
Resumo sobre a distância entre dois pontos
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A distância entre dois pontos no plano cartesiano é o comprimento do segmento que liga esses dois pontos.
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Utilizamos a distância entre dois pontos para desenvolver fórmulas e compreender melhor alguns elementos da geometria analítica.
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A fórmula para calcular a distância entre dois pontos é:
Videoaula sobre a distância entre dois pontos
O que é a distância entre dois pontos?
Quando representamos dois pontos no plano cartesiano, chamamos de distância entre os dois pontos o comprimento do segmento que une esses dois pontos. Vejamos no plano cartesiano a seguir a representação do segmento que liga o ponto A e B:
Para representar a distância entre os pontos A e B, utilizamos a notação dAB.
Para calcular a distância entre dois pontos no plano cartesiano, utilizamos o teorema de Pitágoras. Dados os pontos A(xA, xB) e B(xB, yB), é possível construir um triângulo retângulo cuja hipotenusa seja exatamente o segmento AB.
Note que o triângulo representado no plano cartesiano é retângulo e possui catetos medindo (xB – xA) e (yB – yA). Além disso, a sua hipotenusa é o segmento AB, que a medida é dada pela distância entre os dois pontos, ou seja, dAB. Então, para calcular a distância do ponto A até o ponto B, podemos aplicar o teorema de Pitágoras para deduzir a fórmula da distância entre dois pontos a seguir:
Veja também: Como encontrar o baricentro de um triângulo?
Cálculo da distância entre dois pontos
Para calcular a distância entre dois pontos, basta conhecermos as coordenadas de cada um dos pontos e substituir na fórmula.
Exemplo 1:
Calcule a distância entre os pontos A( 3,5) e B(6,1).
Substituindo os valores das coordenadas na fórmula:
Exemplo 2:
A distância entre o ponto C (2, y) e o ponto D (4,5) é igual a 3√3, então o valor de y é?
Sabemos que dCD = 2√17, então temos que:
dCD = √29
dCD ² = √29²
dCD ² = 29
dCD² = (xD – xc)² + (yD – yc)² = 29
(4 – 2)² + (5 – y)² = 29
2² + 25 – 10y + y² = 29
4+ 25 – 10y + y² =29
29 – 10y + y²= 29
y² – 10y = 29 – 29
y² – 10y = 0
y( y – 10) = 0
y = 0
ou
y– 10 = 0
y= 10
Então, as soluções possíveis são y = 10 ou y = 0.
Leia também: Área de um quadrilátero na geometria analítica
Exercícios resolvidos sobre a distância entre dois pontos
Questão 1 — Para mapear a cidade, os principais locais foram representados no plano cartesiano a seguir:
Analisando a imagem, a distância entre o banco e a igreja é de:
Resolução
Alternativa B.
Primeiro identificaremos as coordenadas do banco B( – 3, 2) e da igreja I(3, – 2).
Agora, substituindo na fórmula de distância entre dois pontos, temos que:
Questão 2 - (UFRGS) A distância entre os pontos A (-2,y) e B (6,7) é 10. O valor de y é:
A) -1 B) 0 C) 1 ou 13 D) -1 ou 10
E) 2 ou 12
Resolução
Alternativa C.
Como a distância do ponta A até o ponto B é 10, então:
dAB² = (xB – xA)² + (yB – yA)²
Sabemos que dAB = 10 e podemos substituir também os valores das coordenadas dos pontos que já são conhecidos, logo:
10² = (6 – (–2) )² + (7 – y)²
100 = (6+2)² + 49 – 14y + y²
100 = 8² + 49 – 14y + y²
100 = 64 + 49 – 14y + y²
100 = 113 – 14y + y²
0 = – 100 + 113 – 14y + y²
0 = 13 – 14y + y²
Encontramos uma equação do 2º grau, logo calcularemos delta:
y² – 14y + 13 = 0
a = 1
b = – 14
c = 13
Δ = b² – 4ac
Δ = ( – 14) ² – 4 · 1 · 13
Δ = 196 – 52
Δ = 144
Agora utilizando a fórmula de Bhaskara:
A função raiz é identificada quando na lei de formação da função a variável se encontra dentro de um radical. A função raiz quadrada e a função raiz cúbica são exemplos de função raiz. Como a maioria dos valores da imagem de uma raiz é um número irracional, a função raiz é considerada uma função irracional.
O conjunto do domínio da função possui restrição quando o índice da função for par, pois o radicando necessariamente tem que ser positivo para que exista raiz. No estudo das funções, é sempre possível realizar sua representação gráfica.
Veja também: Função polinomial — função em que a lei de formação pode ser descrita por um polinômio
Resumo sobre função raiz
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A função raiz possui em sua lei de formação uma variável dentro do radical.
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É preciso analisar o índice do radical da raiz para encontrar seu domínio.
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Quando a função raiz possui índice par, o seu radicando é necessariamente positivo.
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Não existe raiz com índice par de um número negativo no conjunto dos números reais.
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A função raiz quadrada e a função raiz cúbica são exemplos de função raiz, sendo a primeira a mais comum.
Função raiz: o que é?
Quando uma função possui uma ou mais variáveis dentro de um radical, a chamamos de função raiz. Ela sempre terá uma raiz de índice n, sendo que a função raiz mais comum é a função raiz quadrada. Veja a lei de formação de algumas funções raiz a seguir:
➝ Lei de formação de algumas funções raiz
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\(f\left(x\right)=\sqrt x\)
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\(g\left(x\right)=\sqrt{x^2-2}\)
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\(h\left(x\right)=1+\sqrt[3]{x-2}\)
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\(i\left(x\right)=\sqrt[4]{\frac{x}{3}}\)
Para calcular o valor numérico de uma função raiz, basta realizarmos a substituição da sua variável pelo valor desejado. Vale ressaltar que em muitos casos, o valor numérico de uma função raiz é um número irracional.
➝ Exemplos de cálculo da função raiz
Dada a função \(f\left(x\right)=\sqrt{x-4}\), calcule:
a) \(f\left(13\right)\)
b) \(f\left(7\right)\)
Resolução:
a) \(f\left(13\right)\)
Quando x = 13, temos:
\(f\left(13\right)=\sqrt{13-4}=\sqrt9=3\)
b) \(f\left(7\right)\)
Quando x = 7, temos:
\(f\left(7\right)=\sqrt{7-4}=\sqrt3\)
Como a \(\sqrt3\) é um número irracional, podemos afirmar que \(f\left(7\right)=\sqrt3\). Caso seja necessário calcular a raiz quadrada, utilizamos uma aproximação para essa raiz, como 1,7.
Dada a função \(g\left(x\right)=\sqrt[3]{x}+2x\), calcule \(g\left(8\right)\).
Resolução:
\(g\left(8\right)=\sqrt[3]{8}+2\cdot8\)
\(g\left(8\right)=2+16\)
\(g\left(8\right)=18\)
Domínio de uma função raiz
No estudo de uma função raiz, conhecendo a sua lei de formação, é importante compreender que nem sempre o domínio de uma função é o conjunto dos números reais, pois existe uma restrição na radiciação quando o índice da função é par. Sabemos que não existe raiz com índice par de um número negativo no conjunto dos números reais.
Considere a função a seguir:
\(f\left(x\right)=\sqrt{3x+4}\)
Qual é o conjunto domínio dessa função quando a analisamos no conjunto dos números reais?
Resolução:
Para que exista imagem para um determinado valor de x, temos:
\(3x\ +\ 4\ \geq\ 0\ \)
\(3x\ \geq\ -\ 4\ \)
\(x\geq-\frac{4}{3}\)
Assim, o domínio dessa função é:
\({\ x\ \in\ \mathbb{R}\ |\ x\ \geq\ -\frac{4}{3}}\)
Quando o índice da função raiz é ímpar, o domínio da função não tem restrição, podendo ser o conjunto dos números reais. |
Saiba também: Domínio, contradomínio e imagem de uma função — qual a diferença?
Gráfico da função raiz
O gráfico da função raiz é sempre crescente.
Quando a função raiz possui um índice par, seu gráfico estará somente no 1º quadrante:
Perceba que ao aumentar o valor do índice, a função continua crescente. |
Quando a função possui índice ímpar, o gráfico da função raiz estará tanto no 1º quanto no 3º quadrante.
Leia também: Como é o gráfico de uma função exponencial?
Exercícios resolvidos sobre função raiz
Questão 1
Analisando a função \(\ f:\ A\ \rightarrow B\ \), com lei de formação \(f\left(x\right)=\sqrt[3]{x-4}\), julgue as afirmativas a seguir:
I) O domínio dessa função é necessariamente os valores de x, tal que \(x\geq\ 4\).
II) \(f\left(-4\right)=-2\)
III) Essa função é uma função raiz.
Marque a alternativa correta:
A) Somente a afirmativa I é falsa.
B) Somente a afirmativa II é falsa.
C) Somente a afirmativa III é falsa.
D) Todas as afirmativas são verdadeiras.
Resolução:
Alternativa A
I) Falsa
Como o índice da raiz é igual a 3, um número ímpar, o domínio dessa função pode ser o conjunto dos números reais, não havendo uma restrição para o valor de x.
II) Verdadeira
Calculando \(f\left(-4\right)\), temos:
\(f\left(-4\right)=\sqrt[3]{-4-4}\)
\(f\left(-4\right)=\sqrt[3]{-8}\)
\(f\left(-4\right)=-2\)
III) Verdadeira
Como a variável está dentro do radical, essa função é de fato uma função raiz.
Questão 2
Analisando a função \(f\left(x\right)=\sqrt{2x+6}\) no conjunto dos números reais, podemos afirmar que:
A) \(D\ =\ {x\ \in\ \mathbb{R}\ |\ x\ \geq\ 2}\)
B) \(D\ =\ {x\ \in\ \mathbb{R}\ |\ x\ \geq\ -6}\)
C) \(D\ =\ {x\ \in\ \mathbb{R}\ |\ x\ \geq\ -3}\)
D) \(D\ =\ {x\ \in\ \mathbb{R}\ |\ x\ \geq\ 4}\)
Resolução:
Alternativa C
Analisando a lei de formação, temos:
\(2x\ +\ 6\ \geq\ 0\)
\(2x\ \geq\ -6\)
\(x\geq\frac{-6}{2}\)
\(x\ \geq\ -3\ \)
Portanto:
\(D\ =\ x\ \in\ R\ |\ x\ \geq\ -3\)