A raiz quadrada é um tipo de operação matemática, assim como a adição, multiplicação, entre outras. Ela é a operação inversa da potência de dois, ou seja, calcular a raiz quadrada de um número a é procurar o número elevado a 2 que resulta em a.
Além disso, essa raiz pode ser exata ou não. Quando ela é exata, o número é chamado de quadrado perfeito. Na geometria, ela é útil para determinamos o lado de quadrados.
Leia também: Potenciação e radiciação de frações – como resolver?
Radiciação
Na raiz quadrada, o índice da raiz é 2. Ela é a mais comum entre as radiciações, mas também é possível calcular raiz cúbica, raiz quarta, entre outras raízes.
A radiciação é o inverso da potenciação. Por exemplo, se eu pedir a raiz quinta de um número n, estamos procurando qual é o número que, multiplicado por ele 5 vezes, resulta em n.
Elementos da radiciação
A operação é representada por:
n→ índice
a→ radicando
b→ raiz
Como vamos fazer o estudo da raiz quadrada, o índice será sempre igual a 2. Em uma radiciação, quando o índice é 2, não precisamos escrevê-lo.
Calculando a raiz quadrada
O cálculo da raiz quadrada pode ser feito de cabeça por meio de tabuada quando conhecemos a raiz. Quando o número é muito grande, uma alternativa é realizar a fatoração desse número. Calcular a raiz quadrada de a é encontrar o número b que, quando multiplicamos b .b, resulta em a.
Tipos de raiz quadrada
Uma raiz quadrada pode ser exata ou não. Para que a gente consiga classificar, precisamos levar em consideração se a resposta é um número racional ou um número irracional.
Uma raiz quadrada é exata quando resulta em um número racional, como uma fração, um número inteiro, um número decimal, desde que, ao multiplicar esse número por ele mesmo, encontremos exatamente o radicando.
Quando o número para o qual desejamos calcular a raiz quadrada exata é muito grande, o ideal é recorrer à fatoração desse número. Como estamos calculando a raiz quadrada, vamos agrupar essa fatoração como potências de dois conforme o exemplo a seguir.
Calcule a raiz quadrada de 3600.
Agora que realizamos a fatoração, vamos calcular a raiz de 3600 na forma fatorada.
Podemos perceber que a raiz de um número ao quadrado é igual ao próprio número. Por exemplo, sabemos que 3 ao quadrado é 9 e que a raiz de 9 é igual ao próprio 3. Então podemos simplificar o expoente 2 com o radical.
Na raiz exata, quando a resposta é um número natural, ele é conhecido como quadrado perfeito. Veja todos os quadrados perfeitos de 0 até 100.
Os quadrados perfeitos de 0 até 100 são 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 e 100.
Existem casos em que a raiz não é exata. Quando isso acontece, podemos encontrar a melhor aproximação possível para a raiz desse número, já que a resposta é um número irracional. Para essa aproximação, vamos utilizar os quadrados perfeitos que já conhecemos.
Para encontrar a raiz de 40, vamos compará-la com as raízes exatas que conhecemos. Analisando os quadrados perfeitos, sabemos que 40 está entre 36 e 49.
Agora vamos encontrar o número decimal entre 6 e 7 que está mais próximo de 40.
6,1² = 37,21
6,2²= 38,44
6,3²=39,69
6,4²=40,96 → passou de 40, então vamos usar o número decimal anterior para a aproximação.
Perceba que 6,3² não dá exatamente 40, mas chega próximo, por isso essa raiz quadrada não é exata.
Veja também: Cálculo de raízes – formas de resolver
Interpretação geométrica da raiz quadrada
Alguns livros de história da matemática dizem que a raiz quadrada surgiu para resolver problemas de áreas de quadrado. Suponha que queiramos achar o lado de um terreno que tem formato de um quadrado e que sua área seja igual a 169 m².
Como a área do quadrado é calculada por l², então calcular a raiz de 169, geometricamente, é encontrar o lado do quadrado que possui essa área.
O lado do quadrado é de 13 metros.
Exercícios resolvidos
Questão 1 - Qual é a melhor aproximação para a raiz quadrada de 72?
A) 8,1
B) 8,2
C) 8,3
D) 8,4
E) 8,5
Resolução
Alternativa D.
Sabemos que 72 está entre os quadrados perfeitos 64 e 81, então temos que:
8,1²= 65,61
8,2²= 67,24
8,3²= 68,89
8,4²= 70,56
8,5²= 72,25 → passou, então a melhor aproximação é a anterior, 8,4.
Questão 2 - Qual das raízes abaixo não é exata?
Resolução
Alternativa C.
a) Possui raiz exata igual a 11, pois 11² =121.
b) Possui raiz exata igual a 1,3, pois 1,3² = 1,69.
c) Não possui raiz exata
d) Possui raiz exata, pois o numerador 1²=1 e o denominador 2²=4, logo a raiz dessa fração é igual a ½.
e) Possui raiz exata igual a 1.
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Quadrado é um polígono que possui os lados iguais e ângulos na mesma medida. Ou seja, é um quadrilátero. Assim, a diagonal do quadrado corresponde aos segmentos de reta responsáveis por ligar dois vértices. Entretanto, os vértices não fazem relação com os lados do quadrado.
Nesse sentido, observando a estrutura desse polígono é possível perceber que só existem duas diagonais. Isso porque, o quadrado é formado por quatro lados congruentes e perpendiculares. Dessa forma, para que o cálculo da diagonal seja feito é possível utilizar duas fórmulas, o Teorema de Pitágoras ou pelo processo de racionalização.
Assim, ao aplicar o Teorema de Pitágoras é possível notar que o quadrado se divide em dois triângulos retângulos. Isso porque, Pitágoras desenvolveu o teorema aplicando os cálculos em um triângulo retângulo.
Assim, o triângulo possui dois catetos e uma hipotenusa. Por outro lado, um quadrado possui dois seguimentos de reta que juntam os vértices da figura.
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Diagonal do Quadrado
Como já vimos, existem duas maneiras para se calcular a diagonal do quadrado. Uma delas se dá pelo Teorema de Pitágoras, responsável por definir as medidas do comprimento dos lados de um triângulo retângulo. Porém, a mesma regra pode ser aplicada ao quadrado.
Teorema de Pitágoras
Para que o cálculo da diagonal do quadrado seja feita utilizando o Teorema de Pitágoras, basta traçar uma reta que ligue os vértices do polígono. Ou seja, o quadrado será dividido em dois triângulos retângulos. Dessa forma, basta calcular a hipotenusa referente ao triângulo isósceles retângulo.
Assim, para que o cálculo seja feito é necessário utilizar a seguinte fórmula: d2 = l2 + l2, aplicando quando o quadrado for divido em triângulo retângulo.
A outra forma de calcular a diagonal do quadrado é pelo processo de racionalização, ou seja, a fórmula transforma o o denominador irracional em um número racional. Nesse sentido, temos: d = l√2.
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Exemplos
Para que a explicação seja simplificada, observe os exemplos:
Em um quadrado, traça-se um reta ligando os vértices do polígono. Assim, forma-se um triângulo, que chamaremos de triângulo ABC. Dessa forma, os lados do quadrado se transformam em catetos (os dois lados do triângulo) e uma hipotenusa, a diagonal do quadrado. Assim, temos:
d2 = a2 + a2 = 2a2 = √2a2 = a√2
Agora, suponhamos que o lado do quadrado possui lado com medida de 6cm. Utilizando a fórmula do Teorema de Pitágoras, podemos concluir que:
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- d² = a² + a²
- d² = 6² + 6²
- d = 6√2
- d = 8,46 cm
Definições do Teorema de Pitágoras
Pitágoras desenvolveu o Teorema de Pitágoras no século VI a.C. Aliás, ao longo dos anos, essa teoria despertou o interesse de muitos povos da antiguidade. Só para ilustrar, podemos citar babilônios, egípcios, gregos, hindus e chineses.
Dessa forma, a partir dos estudos desenvolvidos pelo filósofo e matemático, definiu-se conceitos como triângulo retângulo, cateto e hipotenusa. Assim, os cálculos da diagonal do quadrado dependem do entendimento desses conceitos.
- Triângulo retângulo: corresponde ao triângulo que possui dois ângulos retos, ou seja, de 90º
- Cateto: menores lados de um triângulo. Além disso, formam o ângulo de 90º.
- Hipotenusa: maior lado de um triângulo.
Em 2016, uma pesquisa realizada com uma turma de alunos do 9º ano do ensino fundamental revelou os principais erros relacionados à resolução do Teorema de Pitágoras. Ao que tudo indica, o principal problema está na falta de compreensão da definição e identificação de elementos de um triângulo retângulo.
Sendo assim, para entender melhor essa teoria, é necessário superar as dúvidas relacionadas ao triângulo responsável por compor esse quadrilátero.
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E então, o que achou da matéria? Se gosta de matemática, então você não pode deixar de conferir o que é Raiz Quadrada e como as Expressões Numéricas são classificadas.
Fontes: Mundo Educação, Alunos Online e UmComo
Bibliografia:
- BASTIAN, Irma Verri. O TEOREMA DE PITÁGORAS. 2000. 229 f. Dissertação (Mestrado) – Curso de Matemática, Pontifícia Universidade Católica, [S.L.], 2000. Disponível em: //www.pucsp.br/pensamentomatematico/dissertacao_irma_verri_bastian.pdf.
- PEREIRA, Mayara Gabriella Grangeiro; COUTO, Ana Paula Nascimento Pegado; COSTA, Acylena Coelho. ANÁLISE DE ERROS EM QUESTÕES DE TEOREMA DE PITÁGORAS: um estudo com alunos do ensino fundamental. In: ENCONTRO NACIONAL DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 12., 2016, [S.L.]. Anais […]. São Paulo: Sbem. p. 1-12. Disponível em: //www.sbem.com.br/enem2016/anais/pdf/5481_4329_ID.pdf.
Fonte imagem destaque: Matemática Básica
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