A raiz quadrada aproximada de um número é calculada utilizando a estimativa, que é o processo pelo qual conseguimos aproximar valores numéricos. Adotamos esse procedimento para calcular raiz quadrada não exata, que ocorre quando o radicando não é um número quadrado perfeito. Lembre-se que:
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Radicando é o número que fica dentro do radical, ou seja:
2 = Índice 2 = Expoente n = Radicando n = Raiz
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Número quadrado perfeito é obtido pelo produto de um número por ele mesmo. Sendo assim, é todo e qualquer número que tem como expoente o número 2.
Número Número quadrado perfeito
0 → 02 = 0
1 → 12 = 1
2 → 22 = 4
3 → 32 = 9
4 → 42 = 16
5 → 52 = 25...
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A raiz exata de um número é dada por um outro número que é quadrado perfeito.
Temos que 4, 9 e 16 são números quadrados perfeitos.
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Para sabermos quando utilizar o processo de estimativa pra calcular raiz quadrada, basta o valor numérico referente ao radicando não ser um número quadrado perfeito. Veja alguns radicais que não são quadrados perfeitos:
Como já trabalhamos os conceitos iniciais necessários para poder compreender melhor o que é raiz quadrada aproximada, podemos agora determinar o processo pelo qual é realizada a estimativa.
A aproximação para raiz quadrada adota o conjunto dos números racionais. Sendo assim, o valor numérico da raiz sempre será um número com uma ou mais casas decimais. O processo referente à aproximação de raiz quadrada pode ser caracterizado por três passos. Para determinar esses passos vamos calcular a raiz quadrada do número 7.
Primeiro passo
Devemos definir o número quadrado perfeito que é antecessor e sucessor do número 7.
22 < 7 < 32
4 < 7 < 9
Segundo passo
Determinar o possível intervalo que será raiz de 7 e fazer a estimativa variando as casas decimais.
Conseguimos determinar que o número 7 está entre os números quadrados perfeitos 4 e 9. Então o número que será a raiz de 7 está entre 2 e 3. Agora devemos aplicar o processo da estimativa, para isso variamos os números refentes à casa decimal.
(2,1) . (2,1) = (2,1)2 = 4,41
(2,2) . (2,2) = (2,2)2 = 4,84
(2,3) . (2,3) = (2,3)2 = 5,29
(2,4) . (2,4) = (2,4)2 = 5,79
(2,5) . (2,5) = (2,5)2 = 6,25
(2,6) . (2,6) = (2,6)2 = 6,76
(2,7) . (2,7) = (2,7)2 = 7,29
Terceiro passo
Definir qual dos valores da estimativa é raiz
Quando o produto de um número por ele mesmo ultrapassa o valor do radicando que queremos encontrar, paramos de estimar esse número. O que precisamos fazer agora, no caso da raiz quadrada de 7, é decidir se a raiz é o número 2,6 ou 2,7. Por convenção, temos que a raiz de 7 é dada pelo menor valor. Sendo assim:
Para poder fixar melhor este conteúdo faremos mais um exemplo:
Calcule a raiz quadrada do número 21.
42 < 21 < 52
16 < 21 < 25
O número que será raiz de 21 está entre 4 e 5.
(4,1) . (4,1) = (4,1)2 = 16,81
(4,2) . (4,2) = (4,2)2 = 17,64
(4,3) . (4,3) = (4,3)2 = 18,49
(4,4) . (4,4) = (4,4)2 = 19,36
(4,5) . (4,5) = (4,5)2 = 20,25
(4,6) . (4,6) = (4,6)2 = 21,16
Como, por convenção, devemos pegar o menor número para raiz, temos que a raiz de 21 é 4,5.
Uma das estratégias mais usadas para calcular raízes é a fatoração. Para tanto, utiliza-se o teorema fundamental da aritmética e algumas propriedades de raízes. Assim, o radicando é decomposto em fatores primos, que são reagrupados para facilitar os cálculos. Antes de falarmos sobre o cálculo de raízes em si, precisamos relembrar o teorema fundamental da aritmética e algumas propriedades.
→ Teorema fundamental da aritmética
Todo número inteiro pode ser decomposto em uma multiplicação em que todos os fatores são primos. Essa decomposição é única, exceto, é claro, pela permutação de seus fatores. Os números inteiros que aparentemente não podem ser decompostos em fatores primos são os próprios números primos. Contudo, é possível dizer que a decomposição em fatores primos de um número primo tem como resultado um único fator, que é o próprio número.
Exemplos:
a) 192 = 25·3
b) 75 = 3·52
c) 300 = 2·3·52
→ Propriedades dos radicais para o cálculo de raízes
Para o cálculo de raízes por meio de fatoração, são utilizadas as duas propriedades seguintes:
A primeira garante que a raiz do produto é igual ao produto das raízes, e a segunda afirma que, quando o índice do radical é igual ao expoente do radicando, o resultado da raiz é a base do radicando.
→ Cálculo de raízes não exatas por meio fatoração
Segue o passo a passo para calcular raízes não exatas (e exatas também) por fatoração:
Passo 1: Fatore o radicando
Se o radicando de uma raiz for um número inteiro, é possível reescrever esse número como produto de fatores primos, como garante o teorema fundamental da aritmética.
Passo 2: Reagrupe os fatores primos
Feito isso, reescreva os fatores primos em fatores cujo expoente seja igual ao índice do radicando.
Passo 3: Aplique a propriedade I
Cada fator precisa ficar dentro de um radical para que a segunda propriedade seja aplicada.
Passo 4: Aplique a propriedade II
Esse passo fará com que o radical seja simplificado à raiz de algum fator primo. Observe que é sempre mais fácil calcular a raiz de um fator primo do que de um número composto maior que ele.
Passo 5: Cálculo numérico
Se necessário, faça o cálculo numérico da raiz restante e multiplique todos os resultados.
Exemplo:
Sabendo que a raiz quarta de 2 é 1,19, calcule a raiz quarta de 2592.
Solução:
Pelo passo 1, devemos fazer a fatoração de 2592:
2592|2 1296|2 648|2 324|2 162|2 81|3 27|3 9|3 3|3
1|
2592 = 25·34
Pelo passo 2, devemos reescrever os fatores primos com expoentes iguais a 4. Se sobrarem fatores insuficientes para isso, devemos escrevê-los com o maior expoente possível:
2592 = 25·34 = 24·2·34 = 34·24·2
Pelo passo 3, substituímos 2592 pela sua fatoração dentro do radical e fazemos o seguinte:
Já o quarto passo garante a simplificação dos dois primeiros fatores. Observe que já é possível substituir o último fator pelo seu valor numérico, que é 1,19.
Por fim, note que o quinto passo também já foi aplicado na imagem acima.
1
Tente adivinhar o valor através da eliminação. É mais difícil descobrir raízes quadradas não inteiras, mas ainda assim é possível.
- Suponhamos que você queira encontrar a raiz quadrada de 20. Você sabe que 16 é um número inteiro perfeito com raiz quadrada igual a 4 (4×4=16). E, igualmente, 25 tem uma raiz quadrada igual a 5 (5×5=25), de modo que a raiz quadrada de 20 deverá estar esses valores.
- Você poderia supor que a raiz quadrada de 20 seja 4,5. Agora, basta elevar 4,5 ao quadrado para conferir a suposição. Isso significa que é necessário multiplicar o número por ele mesmo: 4,5×4,5. Veja se a resposta está acima ou abaixo de 20. Se a suposição estiver longe do resultado esperado, realize a tentativa com outro número (talvez 4,6 ou 4,4) e refine a suposição até chegar a 20.[4] X Fonte de pesquisa Ir à fonte
- Por exemplo, 4,5×4,5=20,25. Logicamente, você deve tentar um número menor, provavelmente seguindo com 4,4×4,4=19,36. Logo, a raiz quadrada de 20 deverá estar entre 4,5 e 4,4. Que tal seguirmos com 4,445×4,445? A resposta será 19,758, que está bem mais próxima. Se continuar usando diferentes números nesse processo, você chegará finalmente a 4,475×4,475=20,03. Arredondamos, teremos o número 20.
2
Use o processo da média. Esse método também começa com a sua tentativa de encontrar os números inteiros mais próximos entre os quais estará o valor desejado.[5] X Fonte de pesquisa Ir à fonte
- A seguir, divida o número por uma das raízes quadradas. Pegue a resposta, calcule a média e o valor pelo qual a divisão foi feita (a média corresponde à soma dos dois números dividida por dois). A seguir, pegue o número original e divida-o pela média obtida. Finalmente, calcule a média dessa resposta com a primeira média obtida.
- Parece complicado? Pode ser mais fácil acompanhar um exemplo. O número 10 se situa entre as duas raízes perfeitas de 9 (3×3=9) e 16 (4×4=16). As raízes quadradas desses números são 3 e 4. Então, divida 10 pelo primeiro número, 3. Obtém-se o resultado 3,33. Agora, tire a média entre 3 e 3,33 somando os dois números em conjunto e dividindo a soma por 2. Você obterá o resultado 3,1623.
- Revise os cálculos multiplicando a resposta (nesse caso, 3,1623) por ela mesma. De fato, 3,1623 multiplicado por 3,1623 será igual a 10,001.