Antes de partir para o cálculo de raízes não exatas propriamente dito, é necessário relembrar como calcular raízes de um modo geral e o que são raízes exatas e não exatas.
Calculando raízes
Calcular a raiz de um número resume-se a procurar por outro número que, multiplicado por ele mesmo determinada quantidade de vezes, tenha como resultado o número dado.
A representação de raízes é feita da seguinte maneira:
*n, chamado de índice, é o número de fatores da potência que gerou a, chamado de radicando, e L é o resultado, chamado de raiz.
Desse modo, L é um número que foi multiplicado por si mesmo n vezes e o resultado dessa multiplicação foi a.
L·L·L·L...L·L = a
Raízes exatas e não exatas
Dizemos que uma raiz é exata quando L é um número inteiro. São alguns exemplos de raízes exatas:
a) A raiz quadrada de 9, pois 3·3 = 9
b) A raiz cúbica de 8, pois 2·2·2 = 8
c) A raiz quarta de 16, pois 2·2·2·2 = 16
Entretanto, quando não é possível encontrar número inteiro que seja raiz de um número, então, essa raiz não é exata. Todas elas pertencem ao conjunto dos números irracionais e, por isso, todas elas são decimais infinitos. São alguns exemplos de raízes não exatas:
a) Raiz quadrada de 2
b) Raiz cúbica de 3
c) Raiz quarta de 5
Cálculo de raízes não exatas
Caso 1 – Radicando primo
Se o radicando pertence ao conjunto dos números primos, é preciso procurar por valores aproximados para sua raiz. Esse cálculo é feito procurando-se por raízes exatas próximas ao radicando e, posteriormente, aproximando a raiz do radicando tendo como base a raiz exata mais próxima. Por exemplo, calculemos a raiz cúbica de 31:
Na imagem anterior, vimos que a raiz cúbica de 31 tem um resultado decimal entre 3 e 4. Para descobrir uma aproximação de L, é necessário definir quantas casas decimais ele deve ter e procurar pelo número que, elevado ao cubo, mais se aproxime de 31. No exemplo, usaremos uma aproximação com duas casas decimais. Portanto, L = 3,14, pois:
3,143 = 30,959144
Caso 2 – Radicando não primo
Quando o radicando não é primo, decomponha-o em fatores primos e agrupe esses fatores em potências cujo expoente seja igual ao índice do radicando. Isso permitirá o cálculo imediato de todos os fatores cujo expoente é igual ao índice e resumirá os cálculos às raízes dos menores números primos possíveis para aquela raiz.
Exemplo:
Sabendo que a raiz cúbica de 2 é aproximadamente 1,26, calcule a raiz cúbica de 256. Em outras palavras, calcule:
Solução: Primeiramente, obtenha a decomposição em fatores primos de 256:
256|2 128|2 64|2 32|2 16|2 8|2 4|2 2|2
1
256 = 23·23·22
Agora, reagrupe os fatores em potências de expoente 3 dentro do radical. Observe:
Por fim, é possível utilizar uma das propriedades dos radicais para simplificar a raiz acima. Portanto, reescreva a igualdade da seguinte maneira para obter o resultado indicado:
Para encontrar o valor numérico da expressão acima, note que o resultado traz uma raiz cúbica de 2 elevado ao quadrado. Podemos reescrever da seguinte maneira:
Substitua as raízes cúbicas de 2 pelo valor dado no exercício e realize a multiplicação.
4·1,26·1,26 = 6,35
Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática
Fala, pessoal!
Neste artigo, vou ensinar uma maneira muito prática para calcular uma excelente aproximação para a raiz n-ésima de um número p qualquer.
O método que mostrarei a seguir é um caso particular do Método de Newton-Raphson.
Vamos começar com a raiz quadrada para que você possa entender o método. Adaptando o método de Newton-Raphson, obtemos que a raiz quadrada de p pode ser aproximada por:
Na fórmula acima, x é uma aproximação qualquer para a raiz quadrada de p.
Exemplo 1: Calcular uma aproximação para √405,4.
Ora, sabemos que √400=20. Assim, podemos usar 20 como uma aproximação inicial para √405,4, ou seja, x = 20. Ficamos com:
Na calculadora, observamos que o valor exato é 20,13454742… . Obtivemos uma excelente aproximação!!!
Exemplo 2: Calcular uma aproximação para √193.
Ora, sabemos que 142 = 196. Logo, podemos usar x = 14 como aproximação inicial.
Mais uma excelente aproximação!!! Na calculadora, tem-se que √193 = 13,89244399… .
Vamos agora generalizar. Utilizando o método de Newton-Raphson, fiz uma adaptação para obtermos excelentes aproximações para raízes de qualquer índice. A fórmula é a seguinte:
Na fórmula acima, x é uma primeira aproximação para a raiz procurada.
Vamos fazer alguns exemplos para praticar.
Exemplo 3: Calcular uma aproximação para
Ora, sabemos que 63 = 216. Logo, podemos utilizar x = 6 para calcular a aproximação. Temos ainda que n = 3 e p = 237. Ficamos com:
Na calculadora, obtém-se o valor exato de 6,18846…, ou seja, o nosso erro foi de apenas 0,09%.
Exemplo 4: Calcular uma aproximação para
Sabemos que 27 = 128. Logo, podemos utilizar x = 2 para calcular a aproximação.
Na calculadora, obtém-se o valor exato de 2,0278…, ou seja, o nosso erro foi de apenas 0,05%.
Veja que o caso anterior da raiz quadrada é apenas um caso particular dessa fórmula geral em que n = 2.
Espero que tenham gostado!
Um forte abraço,
Guilherme Neves
A raiz quadrada aproximada é utilizada quando precisamos calcular a raiz quadrada de um número que não possui raiz exata. Quando isso ocorre, é necessário utilizar uma aproximação, porque a raiz quadrada nesse caso forma uma dízima não periódica. Para descobrir uma aproximação da raiz quadrada, primeiramente encontramos entre quais números naturais a raiz quadrada se situa. Posteriormente, podemos analisar o valor da casa decimal, encontrando o valor que mais se aproxima da raiz quadrada desejada.
Leia também: Raiz cúbica — o caso de radiciação em que o 3 é o índice do radical
Videoaula sobre raiz quadrada aproximada
Raiz quadrada aproximada x Raiz quadrada exata
Existem dois casos possíveis para a raiz quadrada de um número natural: o resultado pode ser uma raiz quadrada exata ou não. Os números que possuem raiz quadrada exata são conhecidos como quadrados perfeitos. Veja alguns deles a seguir:
-
\( \sqrt0=0\)
-
\( \sqrt1=1\)
-
\( \sqrt4=2\)
-
\( \sqrt9=3\)
-
\( \sqrt{16}=4\)
-
\( \sqrt{25}=5\)
-
\( \sqrt{36}=6\)
-
\( \sqrt{49}=7\)
-
\( \sqrt{64}=8\)
-
\( \sqrt{81}=9\)
-
\( \sqrt{100}=10\)
-
\( \sqrt{121}=11\)
-
\( \sqrt{144}=12\)
-
\( \sqrt{169}=13\)
-
\( \sqrt{196}=14\)
-
\(\sqrt{225}=15\)
Quando o número natural não é um quadrado perfeito, a raiz quadrada desse número é uma dízima não periódica, como a raiz de 3 a seguir:
\(\sqrt3=1.73205080756887729362772\ldots\)
Quando a raiz quadrada não é um número exato, é possível encontrar uma aproximação para o valor da raiz.
Quando a raiz quadrada não é exata, podemos calcular a raiz quadrada aproximada. Para isso, é necessário, inicialmente, encontrar entre quais quadrados perfeitos esse número se situa. Posteriormente, encontramos o intervalo em que a raiz quadrada desse número está. Por fim, determinamos a casa decimal por tentativa.
Calcularemos o valor da \(\sqrt{20}\), por aproximação.
Resolução:
De início, encontraremos entre quais quadrados perfeitos o número 20 está:
16 < 20 < 25
Posteriormente, encontraremos entre quais valores está a raiz quadrada de 20:
\(\sqrt{16}<\sqrt{20}<\sqrt{25}\)
\(4<\sqrt{20}<5\)
Sabemos que \(\sqrt{20} \) está entre 4 e 5, logo a parte inteira é 4, que é o menor dentre os valores.
Encontraremos a primeira casa decimal calculando o quadrado dos valores que estão entre 4,1 e 4,9 e descobrindo entre quais desses números a \(\sqrt{20}\) está. Para isso, calcularemos o quadrado de cada um deles até encontrar um número maior que 20:
4,1² = 16,81 4,2² = 17,64 4,3² = 18,49 4,4² = 19,36
4,5² = 20,25
Note que \(\sqrt{20}\) está entre 4,4 e 4,5.
Caso o objetivo seja encontrar uma aproximação com uma casa decimal, dizemos que:
\(\sqrt{20}=4,4\) por falta
\(\sqrt{20}=4,5 \) por excesso.
Podemos também encontrar a próxima casa decimal, agora que encontramos um novo intervalo para \(\sqrt{20}\):
\(4,4<\sqrt{20}<4,5\)
Testando os valores com duas casas decimais, temos que:
4,41² = 19,4481 4,42² = 19,5364 4,43² = 19,6249 4,44² = 19,7136 4,45² = 19,8025 4,46² = 19,8916 4,47² = 19,9809
4,48² = 20,0704
Agora, reduzimos mais ainda o intervalo, pois sabemos que a \(\sqrt{20}\) está entre 4,47 e 4,48.
\(\sqrt{20}\) = 4,47 por falta.
\(\sqrt{20}\) = 4,48 por excesso.
Podemos repetir esse procedimento para quantas casas decimais quisermos.
Calcule \(\sqrt2\).
Resolução:
1 < 2 < 4
Temos que:
\(\sqrt1<\sqrt2<\sqrt4\)
\(1<\sqrt2<2\)
Sabemos que \(\sqrt2\) é um número entre 1,1 e 1,9:
1,1² = 1,21 1,2² = 1,44 1,3² = 1,69 1,4² = 1,96
1,5² = 2,25
Portanto, \(\sqrt2\) está entre 1,4 e 1,5.
\(\sqrt2\) = 1,4 por falta.
\(\sqrt2\) = 1,5 por excesso.
Calculando a segunda casa decimal:
1,41² = 1,9881
1,42² = 2,0164
\(\sqrt2\) = 1,41 por falta.
\(\sqrt2\) = 1,42 por excesso.
Saiba também: O que é uma função raiz?
Exercícios resolvidos sobre raiz quadrada aproximada
Questão 1
Calculando o valor aproximado de \(\sqrt{60}\) com duas casas decimais por falta, encontramos:
A) 7,71
B) 7,72
C) 7,73
D) 7,74
E) 7,75
Resolução:
Alternativa D
O número 60 está entre os quadrados perfeitos 49 e 64:
\(49<60<64\)
\(\sqrt{49}<\sqrt{60}<\sqrt{64}\)
\(7<\sqrt{60}<8\)
Testando os números entre 7,1 e 7,9:
7,1² = 50,41 7,2² = 51,84 7,3² = 53,29 7,4² = 54,76 7,5² = 56,25 7,6² = 57,76 7,7² = 59,29
7,8² = 60,84
Então, temos que \(7,7<\sqrt{60}<7,8:\):
7,71² = 59,4441 7,72² = 59,5984 7,73² = 59,7529 7,74² = 59,9076
7,75² = 60,0625
A aproximação por falta é, portanto, 7,74.
Questão 2
O número 3,87 é a aproximação por falta de:
A) \(\sqrt{14}\)
B) \(\sqrt{15}\)
C) \(\sqrt{15}\)
D) \(\sqrt{17}\)
Resolução:
Alternativa B
Calculando o quadrado de 3,87:
3,87² = 14,9769
O número decimal 3,87 é a melhor aproximação por falta para \(\sqrt{15}\).