Como calcular a integral de uma raiz quadrada

Quando ainda somos muito inexperientes, tentamos relacionar a raiz quadrada de uma soma \[\sqrt{a+b}\] com as raízes \[\sqrt{a}\quad \mbox{e}\quad \sqrt{b}\]e raramente temos sucesso.

No Curso de Cálculo Integral em uma variável, quando precisávamos calcular uma integral como

\[\int \sqrt{x+5}\,dx,\]fazíamos uma substituição \[u = x + 5\] para eliminar a soma de dentro da raiz:\[ \int \sqrt{x+5}\,dx = \int \sqrt{u}\, du \]

Aqui nesta Seção veremos como é bonita e sofisticada a expressão da raiz quadrada de uma soma:

Objetivo: Estender a fórmula do binômio usual $(a+b)^n$ (onde $n\in \mathbb{N}$) para expoentes fracionários, como\[(a+b)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a+b},\]ou Reais, como

\[(a+b)^{\sqrt{2}}\]

Escrito por: John Brennan

Escrito em: November 20, 2021

A primeira vez que lhe for necessário integrar uma função de raiz quadrada pode ser um pouco incomum para você. A forma mais simples de resolver esse problema é converter o símbolo de raiz quadrada em um expoente e, neste ponto, a tarefa não será diferente da resolução de outras integrais que você já aprendeu a resolver. Como sempre, com uma integral indefinida, é necessário adicionar uma constante C à sua resposta ao chegar à primitiva.

Lembre-se de que a integral indefinida de uma função é basicamente sua primitiva. Em outra palavras, ao resolver a integral indefinida de uma função f(x), você está encontrando outra função, g(x), cuja derivada é f(x).

Step 2

Note que a raiz quadrada de x também pode ser escrita como x^1/2. Sempre que for necessário integrar uma função raiz quadrada, comece reescrevendo-a como um expoente – isso tornará o problema mais simples. Se você precisar integrar a raiz quadrada de 4x, por exemplo, comece reescrevendo-a como (4x)^1/2.

Simplifique o termo da raiz quadrada, se possível. No exemplo, (4x)^1/2 = (4)^1/2 * (x)^1/2 = 2 x^1/2, que é um pouco mais fácil de trabalhar do que a equação original.

Step 4

Utilize a regra da potência para tomar a integral da função de raiz quadrada. A regra da potência estabelece que a integral de x^n = x^(n+1)/(n+1). No exemplo, então, a integral de 2x^1/2 é (2x^3/2)/(3/2), pois 1/2 + 1 = 3/2.

Step 5

Simplifique sua resposta resolvendo qualquer operação de divisão ou multiplicação possível. No exemplo, dividir por 3/2 é o mesmo que multiplicar por 2/3, então o resultado torna-se (4/3)*(x^3/2).

Step 6

Some a constante C à resposta, pois você está resolvendo uma integral indefinida. No exemplo, a resposta deverá tornar-se f(x) = (4/3)*(x^3/2) + C.

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por ronnmmaia » Sex Set 23, 2011 19:50

Pessoal, resolvendo alguns exercícios propostos por meu professor encalhei na integral f(x)=x*sqrt(4-x). Já encontrei o resultado em uma tabela de integrais + queria muito saber como calcular. Agradeço qualquer ajuda. Abraço.

ronnmmaia Novo Usuário
  Mensagens: 2Registrado em: Sex Set 23, 2011 18:55 Formação Escolar: GRADUAÇÃO Área/Curso: Engenharia Andamento: cursando

por LuizAquino » Sáb Set 24, 2011 00:54

Você deseja resolver a integral:

Basta usar a substituição u = 4 - x e du = dx:

Agora apenas resolva essas duas integrais.

LuizAquino Colaborador Moderador - Professor
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por ronnmmaia » Sáb Set 24, 2011 11:06

LuizAquino escreveu:Você deseja resolver a integral:

Basta usar a substituição u = 4 - x e du = dx:

Agora apenas resolva essas duas integrais.

Muito Obrigado Luiz. Sua dica foi suficiente pra chegar ao resultado. Abraço.

ronnmmaia Novo Usuário
  Mensagens: 2Registrado em: Sex Set 23, 2011 18:55 Formação Escolar: GRADUAÇÃO Área/Curso: Engenharia Andamento: cursando

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• Integral com raiz quadrada
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• [Raiz quadrada de 13] Na mão
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Assunto: cálculo de limites

Autor: Hansegon - Seg Ago 25, 2008 11:29 Bom dia. Preciso de ajuda na solução deste problema, pois só chego ao resultado de 0 sobre 0. Obrigado \lim_{x\rightarrow-1} x³ +1/x²-1[/tex]
Assunto: cálculo de limites
Autor: Molina - Seg Ago 25, 2008 13:25

Realmente se você jogar o -1 na equação dá 0 sobre 0. Indeterminações deste tipo você pode resolver por L'Hôpital que utiliza derivada. Outro modo é transformar o numerador e/ou denominador para que não continue dando indeterminado.

Dica: dividir o numerador e o denominador por algum valor é uma forma que normalmente dá certo.

Caso ainda não tenha dado uma

, avisa que eu resolvo.

Bom estudo!
Assunto: cálculo de limites
Autor: Guill - Dom Abr 08, 2012 16:03

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por admin » Seg Jul 25, 2011 03:43

Este é um vídeo tutorial "Primeiros Passos" destinado aos novos usuários, com a orientação sobre como e onde enviar sua primeira dúvida, após o registro e login.Seja bem-vindo(a) ao fórum AjudaMatemática.com!

admin Colaborador Administrador - Professor
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• [P.A] DETERMINAR A SOMA ODS 60 PRIMEIROS TERMOS
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  Última mensagem por Russman Qua Mar 13, 2013 22:46

  Progressões

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Assunto: Taxa de variação

Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44 Como resolvo uma questao desse tipo: Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base. (a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base. (b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de

Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é Alguem me ajuda? Agradeço desde já.
Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47 V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3 V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³ Derivando: dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3 Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s
Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17 Temos que o volume é dado por:

Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

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por admin » Ter Mar 20, 2012 21:51

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admin Colaborador Administrador - Professor
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• otimização (não sei se é aqui que devo postar)
  por MarinheiroMat » Qua Mai 18, 2011 15:20 1 Respostas 11085 Exibições

  Última mensagem por Max Cohen Sex Mai 25, 2012 12:33

  Funções

• [Matemática financeira 4] Desconto antes do vencimento
  por acorreia » Sex Mar 01, 2013 15:16 1 Respostas 10691 Exibições

  Última mensagem por angel258 Dom Mar 29, 2015 04:53

  Matemática Financeira

• [Juros simples] Venda de aplicação antes do vencim.
  por BrunoDM » Qua Dez 07, 2011 16:03 0 Respostas 10756 Exibições

  Última mensagem por BrunoDM Qua Dez 07, 2011 16:03

  Matemática Financeira

• dúvidas de forum
  por Nero » Seg Mar 05, 2012 20:12 1 Respostas 8859 Exibições
• Uso das regras.
  por cardoed001 » Dom Set 22, 2013 21:17 1 Respostas 8780 Exibições

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Assunto: (FGV) ... função novamente rs

Autor: my2009 - Qua Dez 08, 2010 21:48 Uma função polinomial f do 1° grau é tal que f(3) = 6 e f(4) = 8.Portanto o valor de f(10) é :
Assunto: (FGV) ... função novamente rs Autor: Anonymous - Qui Dez 09, 2010 17:25

Uma função de 1º grau é dada por

.

Temos que para , e para , .

Ache o valor de e , monte a função e substitua por .

Assunto: (FGV) ... função novamente rs
Autor: Pinho - Qui Dez 16, 2010 13:57

my2009 escreveu:Uma função polinomial f do 1° grau é tal que f(3) = 6 e f(4) = 8.Portanto o valor de f(10) é :

f(x)= 2.x

f(3)=2.3=6 f(4)=2.4=8 f(10)=2.10=20
Assunto: (FGV) ... função novamente rs
Autor: dagoth - Sex Dez 17, 2010 11:55 isso ai foi uma questao da FGV? haahua to precisando trocar de faculdade.
Assunto: (FGV) ... função novamente rs
Autor: Thiago 86 - Qua Mar 06, 2013 23:11

Saudações!

ví suaquestão e tentei resolver, depois você conta-me se eu acertei. Uma função de 1º grau é dada por y=3a+b Resposta : 3a+b=6 x(4) 4a+b=8 x(-3) 12a+4b=24 -12a-3b=-24 b=0 substituindo b na 1°, ttenho que: 3a+b=6 3a+0=6 a=2 substituindo em: y=3a+b y=30+0 y=30

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