A raiz quadrada aproximada de um número é calculada utilizando a estimativa, que é o processo pelo qual conseguimos aproximar valores numéricos. Adotamos esse procedimento para calcular raiz quadrada não exata, que ocorre quando o radicando não é um número quadrado perfeito. Lembre-se que:
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Radicando é o número que fica dentro do radical, ou seja:
2 = Índice 2 = Expoente n = Radicando n = Raiz
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Número quadrado perfeito é obtido pelo produto de um número por ele mesmo. Sendo assim, é todo e qualquer número que tem como expoente o número 2.
Número Número quadrado perfeito
0 → 02 = 0
1 → 12 = 1
2 → 22 = 4
3 → 32 = 9
4 → 42 = 16
5 → 52 = 25...
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A raiz exata de um número é dada por um outro número que é quadrado perfeito.
Temos que 4, 9 e 16 são números quadrados perfeitos.
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Para sabermos quando utilizar o processo de estimativa pra calcular raiz quadrada, basta o valor numérico referente ao radicando não ser um número quadrado perfeito. Veja alguns radicais que não são quadrados perfeitos:
Como já trabalhamos os conceitos iniciais necessários para poder compreender melhor o que é raiz quadrada aproximada, podemos agora determinar o processo pelo qual é realizada a estimativa.
A aproximação para raiz quadrada adota o conjunto dos números racionais. Sendo assim, o valor numérico da raiz sempre será um número com uma ou mais casas decimais. O processo referente à aproximação de raiz quadrada pode ser caracterizado por três passos. Para determinar esses passos vamos calcular a raiz quadrada do número 7.
Primeiro passo
Devemos definir o número quadrado perfeito que é antecessor e sucessor do número 7.
22 < 7 < 32
4 < 7 < 9
Segundo passo
Determinar o possível intervalo que será raiz de 7 e fazer a estimativa variando as casas decimais.
Conseguimos determinar que o número 7 está entre os números quadrados perfeitos 4 e 9. Então o número que será a raiz de 7 está entre 2 e 3. Agora devemos aplicar o processo da estimativa, para isso variamos os números refentes à casa decimal.
(2,1) . (2,1) = (2,1)2 = 4,41
(2,2) . (2,2) = (2,2)2 = 4,84
(2,3) . (2,3) = (2,3)2 = 5,29
(2,4) . (2,4) = (2,4)2 = 5,79
(2,5) . (2,5) = (2,5)2 = 6,25
(2,6) . (2,6) = (2,6)2 = 6,76
(2,7) . (2,7) = (2,7)2 = 7,29
Terceiro passo
Definir qual dos valores da estimativa é raiz
Quando o produto de um número por ele mesmo ultrapassa o valor do radicando que queremos encontrar, paramos de estimar esse número. O que precisamos fazer agora, no caso da raiz quadrada de 7, é decidir se a raiz é o número 2,6 ou 2,7. Por convenção, temos que a raiz de 7 é dada pelo menor valor. Sendo assim:
Para poder fixar melhor este conteúdo faremos mais um exemplo:
Calcule a raiz quadrada do número 21.
42 < 21 < 52
16 < 21 < 25
O número que será raiz de 21 está entre 4 e 5.
(4,1) . (4,1) = (4,1)2 = 16,81
(4,2) . (4,2) = (4,2)2 = 17,64
(4,3) . (4,3) = (4,3)2 = 18,49
(4,4) . (4,4) = (4,4)2 = 19,36
(4,5) . (4,5) = (4,5)2 = 20,25
(4,6) . (4,6) = (4,6)2 = 21,16
Como, por convenção, devemos pegar o menor número para raiz, temos que a raiz de 21 é 4,5.
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Primeiramente, separe as casas do número em pares. Esse método faz uso de um processo semelhante à divisão longa para calcular a raiz quadrada exata, uma casa de cada vez. Embora não seja crucial, você talvez descubra que o processo fica mais fácil quando é organizado visualmente e o número está dividido em partes. O primeiro a se fazer é desenhar uma linha vertical separando a área de trabalho em duas regiões, fazendo a seguir uma linha horizontal menor perto do topo direito a fim de ter uma seção pequena em cima e uma grande em baixo. Agora, separe as casas do número em pares começando com a vírgula: seguindo essa regra, por exemplo,
se torna. Escreva o valor no topo do espaço esquerdo.- Em um exemplo, tente calcular a raiz quadrada de . Faça duas linhas para dividir a área de trabalho como no caso anterior e escrevana porção superior do espaço esquerdo, e não se preocupe se houver apenas um número solitário à esquerda em vez de um par. Você deverá escrever a resposta () na região direita superior.
- Em um exemplo, tente calcular a raiz quadrada de
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Descubra qual é o maior
inteiro cujo quadrado é menor ou igual que o número (ou o par de números) à esquerda. Comece com a porção mais à esquerda de seu número, quer se trate de um par ou de um valor isolado. Determine qual é o maior quadrado perfeito que seja menor ou igual a esse número e tire sua raiz quadrada: esse valor é representado por . Anote-o no espaço direito superior e escreva seu quadrado no quadrante direito inferior.- No exemplo, a porção mais à esquerda é o número . Como se sabe que, é possível afirmar que, uma vez que se trata do maior valor inteiro cujo quadrado é menor ou igual a . Escrevano quadrante superior — essa será a primeira casa do resultado. A seguir, escreva(quadrado de ) no quadrante direito inferior — esse valor será importante para o próximo passo.
- No exemplo, a porção mais à esquerda é o número
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3
Subtraia o número recém-calculado do par à esquerda. Assim como acontece na divisão longa, a próxima etapa é subtrair o quadrado encontrado da porção que acaba de ser estudada. Escreva esse valor sob a primeira porção e execute a subtração apropriada, escrevendo a resposta logo abaixo.
- No exemplo, um será colocado abaixo do a fim de realizar a subtração. A resposta, aqui, será igual a .
- No exemplo, um será colocado abaixo do a fim de realizar a subtração. A resposta, aqui, será igual a
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Desça o próximo par. Mova a próxima porção do número em estudo para baixo e ao lado do valor subtraído que você acaba de encontrar. Multiplique a seguir o valor no topo direito por e escreva a resposta no quadrante direita inferior. Basta agora separar um espaço para o problema de multiplicação no próximo passo:
.- No exemplo, o próximo par à disposição é . basta observá-lo próximo ao do quadrante esquerdo inferior. A seguir, multiplique o valor por e obtenha , de modo que. Escreva no canto direito inferior, seguido por.
- No exemplo, o próximo par à disposição é
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Preencha os espaços em branco no quadrante direito. Em cada um deles agora estará o mesmo número inteiro. Ele deve ser o maior que permita ao resultado da multiplicação à direita ser menor ou igual ao número agora presente no lado esquerdo.
- No exemplo, preencher os espaços em branco com dá como resultado:. Esse é um valor maior que. Dessa forma, é grande demais, mas provavelmente servirá. Escreva nos espaços em branco e prossiga:. Confirma-se que ele atende à necessidade porque, então escreva o número no quadrante direito superior. Essa é a segunda casa na raiz quadrada de .
- No exemplo, preencher os espaços em branco com
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Subtraia o valor calculado do número agora à esquerda. Continue subtraindo no mesmo estilo da divisão longa. Tome o resultado do problema de multiplicação no quadrante direito e subtraia-o do valor que está agora no lado esquerdo, colocando a sua resposta logo abaixo.
- No exemplo, será subtraído de , resultando em.
- No exemplo,
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Repita o Passo 4. Desça a próxima porção do número cuja raiz quadrada está sendo calculada. Ao chegar na vírgula, escreva uma casa decimal na resposta presente no quadrante direito superior. A seguir, multiplique o valor no topo direito por e escreva a operação em branco (
) como previamente.- No exemplo, como a vírgula de está sendo alcançada agora, escreva-a logo depois da resposta atual no topo direito. A seguir, desça o par seguinte () no quadrante esquerdo. Ao se multiplicar por o valor no topo direito (), obtém-se— escrevano quadrante direito inferior.
- No exemplo, como a vírgula de está sendo alcançada agora, escreva-a logo depois da resposta atual no topo direito. A seguir, desça o par seguinte (
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Repita os Passos 5 e 6. Encontre o maior valor decimal capaz de preencher os espaços em branco à direita que traga um resultado menor ou igual ao número atualmente à esquerda. A seguir, basta avançar no problema.
- No exemplo, , que é menor ou igual ao número à esquerda (). Observando-se que, que é alto demais, você chega à conclusão de queé a resposta que está buscando. Escreva-o como a próxima casa decimal no quadrante direito superior e subtraia o resultado da multiplicação do número à esquerda:.
- No exemplo,
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Continue a calcular as casas decimais. Desça um par de zeros à esquerda e repita os Passos 4, 5 e 6. Para ainda maior precisão, continue a repetir o processo até encontrar os centésimos, milésimos e assim por diante em sua resposta. Basta continuar nesse ciclo até chegar ao resultado na casa decimal desejada.
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1
Defina o número cuja raiz quadrada será calculada como a área
de um quadrado. Como essa área tem por fórmula, onderepresenta o comprimento de um de seus lados, ao tentar encontrar a raiz quadrada de seu valor você estará tentando calcular o comprimento do quadrado em questão. -
2
Especifique as variáveis relativas a cada casa decimal de sua resposta. Defina a variável
como sendo a primeira casa decimal de (raiz quadrada que está sendo calculada),como sendo a segunda,como sendo a terceira e assim por diante. -
3
Atribua variáveis alfabéticas a cada porção do número inicial. Associe a variável
ao primeiro par de casas decimais em (valor inicial),ao segundo par de casas decimais e assim por diante. -
4
Entenda a conexão do presente método com a divisão longa. Essa forma de calcular a raiz quadrada é basicamente um problema de divisão longa que divide o número inicial por sua raiz quadrada, dando sua raiz quadrada como resposta. Assim como nos problemas de divisão longa, nos quais o interesse está direcionado a uma casa decimal por vez, aqui se deve concentrar em duas por vez (que correspondem à próxima casa decimal da raiz quadrada).
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5
Encontre o maior número cujo quadrado seja menor ou igual a . A primeira casa decimal na resposta representa o maior número inteiro cujo quadrado não excede (de modo que
). No exemplo,e, de modo que.- Em um exemplo, se você quisesse dividir por através do método de divisão longa, o primeiro passo seria parecido: você deveria procurar pelo primeiro dígito () e encontrar o maior número inteiro que, ao ser multiplicado por , resultaria em algo menor ou igual a . Basicamente, trata-se de encontrarde modo que. Nesse caso, seria igual a.
- Em um exemplo, se você quisesse dividir
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6
Visualize o quadrado cuja área você pretende calcular. A resposta, que é a raiz quadrada do número inicial, será representada por , que descreve o comprimento de um quadrado de área (número inicial). Os valores para , e representam as casas decimais presentes em . Outra forma de colocar essa definição é afirmar que, no caso de uma resposta com duas casas decimais
, no caso de uma resposta com três casas decimaise assim por diante.- No exemplo, . Lembre-se de querepresenta a resposta com na casa das unidades e na casa das dezenas. Tomando-seecomo exemplo, resultará no número. Serepresenta a área do quadrado,representa a área do maior quadrado interno,representa a área do menor quadrado interno erepresenta a área de cada um dos retângulos que sobraram. Ao executar esse processo longo e complicado, você terá em mãos a área do quadrado inteiro, bastando somar as áreas calculadas a partir dos quadrados e retângulos em seu interior.
- No exemplo,
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7
Subtraia
de . Desça um par () de casas decimais de . A expressãorepresenta quase a totalidade da área do quadrado, da qual se subtraiu o maior quadrado interno. O resto, por sua vez, pode ser representado peloobtido no Passo 4 (no exemplo supracitado). Aqui,(área de ambos os retângulos mais a área do quadrado menor). -
8
Procure por , também escrito como
. No exemplo, você já conhece () e (), sendo agora necessário calcular o valor de . Ele provavelmente não será um valor inteiro e, por isso, é preciso realmente calcular a maior possibilidade inteira que satisfaça à condição. Por fim, você restará com. -
9
Resolva a operação. Para prosseguir, multiplique por , mude a posição das dezenas (o equivalente a multiplicar o valor por
), coloque na posição das unidades e multiplique o resultado por . Em outras palavras, basta realizar a operação. Ela é a mesma que se realiza ao se escrever(sendo) no quadrante direito inferior presente no Passo 4. Já no Passo 5, por sua vez, você encontrará o maior valor inteiro de que caberá no espaço em branco satisfazendo a condição . -
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Subtraia a área da área total. Isso dá como resultado a área
até então desconsiderada (e que será usada para calcular as próximas casas de modo similar). -
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Para calcular a próxima casa decimal , simplesmente repita o processo. Desça o próximo par (
) de a fim de obterà esquerda e procure pelo maior valor de que satisfaça à condição(equivalente a escrever duas vezes o valorcom duas casas decimais acompanhado por . Procure pelo maior valor de casa decimal cabível nos espaços em branco que traga um resultado menor ou igual a , assim como antes.