2 qual dos números a seguir está mais próximo de 0,899 2 2 0 5 a 0 4 b 0 5 c 0 8 D 0 9 é 1

MÉTODO DA BISSECÇÃO Caríssimos alunos, o cálculo numérico é uma ferramenta fantástica para a solução de alguns tipos de problemas que nos são bem complicados. Dessa forma, com o auxílio de computadores, seremos capazes de produzir resultados que nos ajudarão a tomar a melhor das decisões. Para entendermos bem o que podemos fazer com esta ferramenta, vamos analisar a seguinte situação que envonve o preço de venda versus o lucro de um produto, Preço (reais) Lucro (reais) 0 0 1 0,899 2 3,184 3 6,219 4 9,344 5 11,875 6 13,104 7 12,299 8 8,704 9 1,539 Você me pergunta, como assim o lucro cai com o preço? E eu te respondo que a depender da demanda do produto, o lucro depende muito do preço em reais, pois, neste caso, se o preço for alto, a demanda será menor, aumentando o custo de produção. Portanto, neste caso, iremos considerar estes efeitos da forma mais simples possível. É importante frisar para vocês que, se efetuarmos uma regressão linear no Excel, obtemos a seguinte função, 𝐿(𝑝) = −0,001𝑝4 − 0,1𝑝3 + 𝑝2 + 𝑝 + 5 Sendo L(p) o lucro em função do preço p. Assim, precisamos encontrar um valor ótimo que irá maximizar este lucro, e bem sabemos que este valor ótimo se encontra no pico do gráfico formado por esta proposta, vamos ver, 5 6,899 10,184 14,219 18,344 21,875 24,10424,299 21,704 15,539 0 5 10 15 20 25 30 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Lu cr o Preço Preço versus Lucro Graficamente, poderíamos estimar que este valor ótimo se encontra em p = R$ 6,00, mas será que é isto mesmo? Para verificar isto, vamos buscar o ponto crítico desta função, e bem sabemos que um ponto crítico nos auxilia a buscar o ponto de máximo de uma função. Para isso, primeiramente irei encontrar a derivada de L(p), 𝑑𝐿(𝑝) 𝑑𝑝 = 𝑑 𝑑𝑝 [−0,001𝑝4 − 0,1𝑝3 + 𝑝2 + 𝑝 + 5] 𝑑𝐿(𝑝) 𝑑𝑝 = −0,004𝑝3 − 0,3𝑝2 + 2𝑝 + 1 É importante relembrar que os pontos críticos se encontram onde a derivada da função é igual a zero, ou seja, a partir da minha função L(p), ao derivá-la, eu encontrei L’(p), e o valor ótimo de meu lucro se encontra exatamente em alguma das raízes reais desta última função L’(p). Portanto, −0,004𝑝3 − 0,3𝑝2 + 2𝑝 + 1 = 0 Porém, como esta é uma equação polinomial de terceiro grau, sabemos que a mesma irá nos apresentar três raízes reais, e estas raízes reais não são muito triviais de serem encontradas (eu só quero uma desculpa para utilizar um método numérico). Então, vamos considerar algumas coisas importantes. Primeiro eu irei desenhar a função acima no Geogebra, Note que dentro do intervalo de estudo, que é de p = 0 até 9 reais, temos a função cruzando o eixo horizontal apenas uma vez, e é neste ponto que devemos concentrar nosso trabalho. Para encontrar este ponto de cruzamento utilizarei um método chamado de BISSECÇÃO. Este método consiste em encontrar a raiz real de uma função. Vamos fazer um passo a passo para fazer esta verificação. PRIMEIRO: Escolha dois pontos a e b na função, de forma que f(a)*f(b) < 0, ou seja, escolha dois pontos na função de forma que o produto entre os valores destas funções seja negativo. Isso implica que um dois dois será negativo, pois se um produto entre dois números nos retorna um valor negativo, então um dois dois números é obrigatoriamente negativo. Lembram que o produto entre dois números negativos é positivo e o produto entre dois números positivos é positivo também? Vejam o gráfico a seguir, E a sua tabela, Preço Dlucro 0 1 1 2,696 2 3,768 3 4,192 4 3,944 5 3 6 1,336 7 -1,072 8 -4,248 9 -8,216 Nesta tabela Dlucro significa derivada do lucro e é ela quem irá nos auxiliar na aplicação do método da bissecção. Então, os dois pontos que irei escolher são a = 6 e b = 7, de forma que teremos f(a) = 1,336 e f(b) = -1,072. OBSERVAÇÃO IMPORTANTE: Utilizar esta informação, garantindo que os valores da função possuem sinais diferentes nos possibilita garantir que a raiz real de fato passa entre estes dois pontos. SEGUNDO: Escolha um ponto médio c entre os dois pontos a e b, ou seja, 𝑐 = 𝑎+𝑏 2 . No nosso caso, este ponto c é igual a 6,5. TERCEIRO: Verifique o valor da função neste ponto c. Para a nossa função, encontramos 0,2265. Observe que a intenção é fazer com que o valor da função no ponto c mude a cada iteração, e que, neste caso, ela seja o mais próximo de zero possível. QUARTO: Observe duas condições possíveis, • Se 𝑓(𝑎) × 𝑓(𝑐) > 0, substitua o valor de a por c, pois isso significa que existe uma raiz real no intervalo entre c e b. -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 D lu cr o Preço Preço versus Dlucro • Se 𝑓(𝑏) × 𝑓(𝑐) > 0, substitua o valor de b por c, pois isso significa que existe uma raiz real no intervalo entre c e a. Para o nosso caso, temos que f(a) = 1,336, f(b) = -1,072 e f(c) = 0,2265. De cara vemos que o produto f(a)xf(c) > 0, pois ambas estas funções são positivas, portanto, teremos um novo valor de a, que será a = c = 6,5. QUINTO: Repita a operação até um critério de parada estabelecido por você mesmo. OBSERVAÇÃO IMPORTANTE: Este método não se repete indefinidamente. Se você permitir, ele se estende ad infinitum, porém é importante notar que o intervalo de busca [a , b] reduz à metade a cada iteração. No caso da nossa função, temos o seguinte conjunto de intervalos, observe: [1; 0,5; 0,25; 0,125; 0,0675; ... ] e continua até que você indique o seu critério de parada. Com a maravilhosa invenção do computador, podemos analisar dez iterações feitas por mim no Excel, vejam: Iteração a b c dL(a) dL(b) dL(c) L(c) 1 6 7 6,5 1,336 -1,072 0,2265 24,50244 2 6,5 7 6,75 0,2265 -1,072 -0,39894 24,48187 3 6,5 6,75 6,625 0,2265 -0,39894 -0,08029 24,5117 4 6,5 6,625 6,5625 0,2265 -0,08029 0,074585 24,51186 5 6,5625 6,625 6,59375 0,074585 -0,08029 -0,00248 24,51299 6 6,5625 6,59375 6,578125 0,074585 -0,00248 0,036144 24,51273 7 6,578125 6,59375 6,585938 0,036144 -0,00248 0,016854 24,51293 8 6,585938 6,59375 6,589844 0,016854 -0,00248 0,007192 24,51298 9 6,589844 6,59375 6,591797 0,007192 -0,00248 0,002357 24,51299 10 6,591797 6,59375 6,592773 0,002357 -0,00248 -6,2E-05 24,51299 Considerando a o ponto inicial que definimos, b o ponto final definido para o intervalo, c o ponto médio entre a e b, dL(a) é o valor da derivada no ponto a, dL(b) é o valor da derivada no ponto b, dL(c) é o valor da derivada no ponto c e finalmente L(c) é o valor do lucro no ponto c. Com isso, vamos a uma pequena discussão. Note inicialmente a derivada no ponto c. Como queremos estar o mais próximo de zero possível, o valor encontrado na iteração 10 é de aproximadamente -0,000062, o que já é bem aceitável. Isto me garante que o ponto c encontrado nesta iteração, que é 6,592773 é o mais próximo do valor máximo possível. Porém, se observarmos a função L(c), que é o lucro, sabemos que, em grosso modo, a partir da terceira casa decimal já não fará tanta diferença, então poderíamos estabelecer o critério de parada considerando isto também, mas fica ao critério do intérprete. Por fim, para este caso, já estabelecemos que o lucro maximizado se encontra para o produto com um valor aproximado de R$ 24,51299 para o preço unitário do produto igual a R$ 6,592773. Por fim, vale salientar que isso não significa que este é o lucro unitário, ou seja, do produto sozinho, apenas, mas significa para uma quantidade x não estabelecida deste produto. Agora, considere a seguinte função, 𝑎(𝑥) = 2,02𝑥5 − 1,28𝑥4 + 3,06𝑥3 − 2,92𝑥2 − 5,66𝑥 + 6,08 A função acima é utilizada em um estudo do comportamento mecânico dos materiais, representando a(x) como o comprimento de uma fissura e x é uma fração do número dos ciclos de propagação. Considerando que os valores de x precisam estar no intervalo [0 ; 1], portanto, Então percebam que neste intervalo há um ponto de mínimo, e com isso desejamos

a) 8 3 8 38 38 38 3 33 b) 5 2 6 c) 8 345 8 38 38 38 3 33 558 38 358 38 3 �� 5 15 15 15 122 66 5 35 35 35 3 33 Essa divisão tem divisor racional e vale o mesmo que a divisão original. Tornamos o divisor racional. Fizemos sua racionalização. R ei na ld o R os a Os números irracionais têm infinitas casas decimais e não apresentam período. Registre no caderno. 1. Por qual número você multiplicaria dividendo e divisor de 5 3 para racionalizar o divisor? 33 2. Mostre que � 6 2 3 2 . �� � �� �� �� �66 22 6 26 26 26 2 2 22 22 22 2��2 2�� 6 26 26 26 2 22 3 23 23 23 2 3. Veja o que Caio fez: 2 5 2 5 5 5 2 5 53 3 3 3 3 23 � � � � . Ele racionalizou o divisor? Por qual número Caio deveria ter multiplicado dividendo e divisor? Não; 5 .5 .225 .5 .25 .5 .33 Quando multiplicamos o dividendo e o divisor por um mesmo número diferente de zero, o quociente não se altera. POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO 33 prm9_007_040_u1.indd 33 6/10/15 9:40 PM rEVisANDo 81. a) 272 1 (27)2 0 b) 223 2 30 1 1 237 c) 2 3 3 2     1 1 19 27 d) 252 1 (23)2 2 10 226 e) 32 1 322 82 9 f) 50 2 (21) 2 1 2 2 2     7 4 g) 1 1 2 4 2     1 1 1 2 1 1 2     35 48 82. Escreva os números dos cartões em ordem crescente. C, D, B, E, F, A 25 100 1 2 (22)3 422 52 33 AA cc DD BB EE FF 83. Escreva o número 1 9 na forma de uma potência de base 3. 322 84. Sabendo-se que 292  841, calcule mentalmente. a) 8,41 b) 0,0841 c) 84 100 2,92 29020,292 Zu ba rt ez 85. Sabendo-se que a é um número inteiro positivo, indique as expressões equivalentes. A a 1 a 1 a 1 a 1 a B a ? a ? a ? a ? a C (a 1 a) ? (a 1 a 1 a) D (a 1 a 1 a) ? (a ? a) E (a ? a ? a) 2 (a 1 a) F (a ? a) 1 (a 1 a) 1 a5 2 3a ? a2 3 5a 4 a2 1 2a 5 2a ? 3a 6 a3 2 2a 86. Já calculei 84. Deu 4 096. Calcule mentalmente 212. 4 096 84 5 (23)4 5 4 096 87. Qual dos números é o menor? Alternativa a. a) 1 9 2     b) 1 27 1 3 c) 2 1 9 88. Uma fábrica produz garrafas de refrigerantes com capacidade de 1 2 litro, 1 litro e 2 litros, ca- da uma delas disponível nos sabores guaraná, limão e laranja. Quantas possibilidades de es- colha existem para o consumidor que levar ape- nas uma garrafa? 9 possibilidades 3² 5 9 A e 3 B e 1 C e 5 D e 2 E e 6 F e 4 Pe dr o So tto Faça os cálculos. R on al do B ar at a M ar ce lo A za lim 34 prm9_007_040_u1.indd 34 6/10/15 8:04 PM 89. Determine os dois termos seguintes de cada uma das sequências indicadas. a) 1, 4, 9, 16, ... 25, 36 b) 1, 8, 27, 64, ... 125, 216 c) 1, 1 2 , 1 4 , 1 8 , ... 1 16 , 1 32 d) 2 3 , 4 9 , 8 27 , ... 16 81 , 32 243 90. Usando “cubinhos” iguais, Alice fez a construção a seguir: a) Determine o menor número de “cubinhos” que Alice teria de acrescentar à cons- trução para obter um cubo. b) Determine o menor número de “cubinhos” que Alice teria de reti- rar da construção para obter um cubo. 91. Simplifique. a) ? ? 2 5 2 5 5 13 9 6 224 ? 57 b) ? ? ?(2 3) (3 5) 3 7 4 9 27 ? 32 ? 54 92. Uma feira de livros foi instalada num prédio de 3 andares, cada andar dividido em 3 setores. Compondo cada setor havia 3 estandes, e em cada um deles trabalhavam 3 pessoas, que fo- ram identificadas com um crachá. Quantos cra- chás, no mínimo, foram confeccionados? 52 “cubinhos” (restando um cubo 2  2  2) 81 crachás 34 5 81 93. Calcule. a) 10 49 072  b) 1,1 0,292 c) 3 42 2 d) 4 100 3 2  e) 210 82 2 f) 2 2  ( 5) 4 1 62 g) 2  25 8 12 813 4 h) 2 2   ( 7) 1 2 6 94. Observe o quadrado representado na figura: Área: 150 cm2 Responda. a) Você pode indicar o lado do quadrado como 150 cm? Sim. b) Qual é o número natural que elevado ao qua- drado resulta 150? Não existe. ◆◆ Tente o 11. É muito ou pouco? ◆◆ Tente o 12. É muito ou pouco? ◆◆ Tente o 13. É muito ou pouco? c) O lado desse quadrado é um número natural? Entre quais dois números naturais consecuti- vos está 150 ? Não. Entre 12 e 13. d) Com o auxílio da calculadora, calcule apro- ximadamente a medida do lado desse qua- drado. 12,247 cm Pa ul o Jo sé Ilu st ra çõ es : D A E É pouco, pois 112 5 121. É pouco, pois 122 5 144. É muito, pois 132 5 169. Le on ar do C on ce iç ão a) 3 b) 0,9 c) 5 d) 2 e) 6 f) 1 g) 21 h) 2 3 65 “cubinhos” (formando um cubo 5  5  5) POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO 35 prm9_007_040_u1.indd 35 6/10/15 8:04 PM 95. Qual é maior: a) 40 ou 6? 40 b) 5 ou 2,2? 5 c) 50 ou 7,1? 7,1 d) 5,29 ou 2,3? 96. Calcule a diferença entre a raiz quadrada de 64 e a raiz cúbica de 8. 6 2 564 8 63 97. Simplifique. a) 576 24 b) 2435 3 c) 4 0964 8 d) 14 400 120 e) 2  f) 7296 3 g) 2 025 45 h) 121 144 11 12 98. Simplifique. a) 99 3 11 b) 450 15 2 c) 800 20 2 d) 432 12 3 99. (FMRP-SP) Um pai pretendia dividir uma pizza em 4 pedaços iguais, um para cada pessoa da família. Porém, a sua filha pediu-lhe o pedaço correspondente ao quadrado da fração que lhe caberia, e o filho, a raiz quadrada da fração que lhe caberia. A sua esposa ficou com a quarta parte e ele com o restante. Que fração corres- pondeu ao pedaço do pai? 3 16 2 1 1( )1 116 12 14 100. Situe 5 8 3 2 entre dois números inteiros con- secutivos.  3 5 8 3 2 4 São iguais. 101. Calcule e simplifique. a) ? 52 10 b) ?3 15 3 5 c) ?2 98 14 d) ?20 9 20 3 e) ?200 2 20 f) ? ?50 3 6 30 g) ?0,4 10 2 h) 8 1 2 ? 2 102. No retângulo a seguir, as medidas estão indi- cadas em centímetros. Determine a área da figura. 18 cm2 ? 5 512 27 324 18 27 12 103. Em um triângulo equilátero, o perímetro é igual a 24 2 cm. Quanto mede o lado desse triângulo? 8 2 cm 104. Escreva na forma mais simples possível cada uma das expressões a seguir. a) 18 98 9 2 b) 145 20 5 5 c) 113 19 Não é possível. d) 228 10 7 28 7 e) 1 23 75 12 4 3 f) 1 2 111 44 2 99 176 11 105. No quadrilátero da figura, as medidas dos la- dos estão dadas em centímetros. Determine o perímetro desse quadrilátero. 14 3 cm 32 75 27 48 Ilu st ra çõ es : D A E Le on ar do C on ce iç ão 36 prm9_007_040_u1.indd 36 6/10/15 8:04 PM 106. Veja as medidas da figura: 2 2 7 7 a) Qual é a área do quadrado verde? 2 b) Qual é a área do quadrado azul? 7 c) Qual é o perímetro do quadrado azul? 4 7 d) Qual é o perímetro de um retângulo rosa? e) Que expressão representa a área total des- sa figura? 19 2 14 107. Sim. 3 , 2 , 5212 412 312  9 16 12512 12 12 Os números 36 , 23 e 54 estão colocados em ordem crescente? Demonstre. 108. Um engenheiro mandou construir um reserva- tório que tem a forma de um cubo, com capaci- dade de 64 m3. a) Qual é a medida do lado desse reservatório? b) Quanto teria de aumentar cada um dos la- dos do reservatório para a capacidade ser de 125 m3? 1 m 109. Racionalize. a) 3 2 3 2 2 b) 8 5 540 5 2 10 5 c) 8 7 5 2 4 14 5 d) 15 723 15 7 7 3 e) 18 64 3 2164 f) 1 4 23 4 8 3 12 2 2 7 Pa ul o Jo sé 4 m 110. Observe a planta abaixo e responda. Sala do Dr. Pedro: 25 m2 Sala do Dr. João: ??? Sala do Dr. Paulo: 36 m2 a) Qual é a área da sala do Dr. João, sabendo-se que as outras duas salas são quadradas? b) Qual das salas tem maior perímetro? 111. (Obmep) Qual dos números a seguir está mais próximo de (0,899² 2 0,101²) ? 0,5? Alternativa a. a) 0,4 b) 0,5 c) 0,8 d) 0,9 112. (Cesgranrio) Pensando em reunir os amigos em torno de uma única mesa, João juntou du- as mesas retangulares e iguais formando uma única mesa, quadrada, de área 1,44 m2, como mostra a figura 1. José analisou a arrumação de João e concluiu que, se ele juntasse as du- as mesas pelo menor lado (figura 2), haveria espaçao para mais pessoas, pois o períme- tro dessa nova mesa seria

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